现代几何结构和场论 pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:高等教育出版社

作者:S. P. Novikov

出品人:

页数:0

译者:

出版时间:

价格:269元

装帧:精装

isbn号码:9787040469189

丛书系列:美国数学会经典影印系列

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现代拓扑学基础：从流形到同调 本书导言 本书旨在为读者构建一个严谨而直观的现代拓扑学知识体系。我们聚焦于那些构成了现代几何学和数学物理学基石的核心概念，特别是流形理论的构造、基础的代数拓扑工具，以及它们在描述空间几何属性时的强大能力。本书的叙事线索将围绕“空间”这一核心概念展开，探讨如何用代数和分析的语言精确地捕捉和描述空间的内在结构。 第一部分：拓扑空间的再认识与基础结构 本部分将重申拓扑学的基本公理体系，但着眼于拓扑空间如何从更具体的度量空间中“抽象”出来，并讨论拓扑结构对收敛性、连通性和紧致性等直观概念的严格重塑。 第一章：拓扑空间的精确定义与性质 我们将从集合论的基础出发，定义拓扑空间，并详细探讨开集、闭集、邻域和基本点集的性质。重点分析豪斯多夫性质（分离公理）的重要性，它是连接拓扑学与度量几何学的桥梁。随后，我们将深入讨论紧致性在任意拓扑空间中的定义（开覆盖的有限子覆盖）及其与有限性原理的深刻联系。连通性将以路径连通性和路径无关性为切入点，为后续的同伦理论做铺垫。 第二章：连续映射与同胚 连续性在拓扑学中的角色是保持结构的映射。本章将系统分析连续映射的各种等价定义，并探讨复合映射的性质。同胚，作为拓扑学中的“等价关系”，将作为核心概念贯穿全书。我们将通过实例（如圆盘与正方形的同胚，以及区分它们之间的拓扑差异）来阐释拓扑不变量的概念。 第二章附录：拓扑集的构造方法 本附录将介绍几种重要的拓扑构造，包括子空间拓扑、商拓扑（理解粘合空间的关键）和积拓扑，这些都是构建复杂几何对象的必要工具。 第二部分：流形：几何的局部线性化 流形是现代微分几何和拓扑学研究的核心对象，它允许我们在局部使用线性代数工具来分析弯曲的空间。 第三章：微分流形的构建 本章从一维流形（如实数线、圆周）入手，逐步过渡到$n$维微分流形。精确定义了图集、坐标卡以及最重要的——转移映射（或称过渡函数）。我们将强调转移映射必须是光滑的（或可微的），这是赋予流形微分结构的前提。 第四章：切空间与向量场 切空间是理解流形上微分运算的基础。我们将从向量空间到仿射空间再到切空间的视角，精确定义切空间 $T_p M$。接着，我们引入向量场作为切空间的截面，讨论李导数和向量场的积分曲线，这是分析流形上动态系统的微分工具。 第五章：张量代数与张量场 张量是描述几何对象内在属性的通用语言。本章首先回顾多重线性代数，定义张量积、对称张量和反对称张量（微分形式的预备）。我们将定义张量场，并讨论协变导数（或称联络）的概念，尽管本书不深入微分几何的黎曼曲率，但引入联络的概念是理解张量如何“变化”所必需的。 第三部分：代数拓扑的初步：同伦与基础群 拓扑学通过将空间属性“编码”到代数结构中，实现了对空间本质的洞察。本部分引入第一个关键的代数不变量——基础群。 第六章：路径与同伦 路径的精确定义是群论在拓扑学中应用的起点。本章详细讨论了参数化、路径的乘法（连接）和逆运算。同伦理论的核心在于区分“本质上不同”的路径。我们将定义路径同伦，并阐明同伦等价的概念，强调这是一种比同胚更宽松但仍能保留重要拓扑信息的等价关系。 第七章：基础群（第一同伦群） 基础群 $pi_1(X, x_0)$ 是围绕一个固定基点 $x_0$ 的所有闭回路在同伦关系下的群。本章将证明 $pi_1(X, x_0)$ 是一个群，并讨论其与路径连通性的关系。我们将计算一些基本空间的最佳群，如圆周 $S^1$ 的基础群（$mathbb{Z}$）以及圆盘（流形）的基础群（平凡群 ${e}$）。关键在于理解基础群如何区分那些“不可收缩”的洞。 第八章：覆盖空间与单连通性 覆盖空间理论为计算基础群提供了强大的分析工具。我们将定义覆盖映射，并证明每个路径连通的豪斯多夫空间都存在一个“万有覆叠空间”。单连通性（基础群为平凡群）的特征化，将通过遍历覆盖空间中的路径来精确体现。 第四部分：同调理论的萌芽：链复形 本部分引入同调理论的构造性框架，聚焦于如何利用链和边界的概念来系统地识别空间中的“洞”。 第九章：链复形的代数基础 我们将从一个抽象的代数结构——链复形 $(C_{ullet}, partial)$ 开始，其中 $C_n$ 是一个阿贝尔群（或向量空间），$partial_n: C_n o C_{n-1}$ 是边界映射，且满足 $partial_n circ partial_{n+1} = 0$ （即边界的边界是零）。 第十章：同调群的构造 基于链复形，我们定义“循环群” $Z_n = ker(partial_n)$ 和“边界群” $B_n = operatorname{Im}(partial_{n+1})$。同调群 $H_n(C)$ 被定义为商群 $Z_n / B_n$。本章将详细解释 $H_n$ 为什么衡量了 $n$ 维空间中的“洞”，以及零维同调群 $H_0$ 如何与连通分支数相关联。 第十一章：单纯形与奇异链 为了将抽象的链复形应用于实际空间，我们将介绍单纯形（点、线段、三角形、四面体等）作为基础单元。奇异链复形将任意拓扑空间 $X$ 通过连续映射到单纯形 $sigma: Delta^n o X$ 来构造，从而为计算任意拓扑空间的同调群提供了一个普适的框架。 结语 本书的结构旨在引导读者从直觉上的几何概念，逐步过渡到抽象但强大的代数工具。流形提供了描述局部形状的语言，而同伦与同调则提供了区分全局拓扑结构的代数标记。这些工具不仅是现代几何研究的基础，也是理解凝聚态物理中拓扑序、规范场论中拓扑荷等问题的必要前提。本书的完成，将使读者具备深入探索高阶微分几何、纤维丛理论或更深入的代数拓扑分支的坚实基础。

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这本书的阅读体验，简直就像是在参加一场由顶尖数学家主导的深度研讨会。作者以一种极其严谨和富有逻辑性的方式，层层递进地构建着他的论证体系。我从未想过，几何结构和场论这两个看似截然不同的数学分支，竟然可以如此紧密地联系在一起。书中对微分几何和代数拓扑的交织运用，让我看到了数学的统一性之美。我特别欣赏作者在引入每一个新概念时，都清晰地解释其背后的动机和它在整个理论体系中的位置。这种条理分明的讲解方式，极大地降低了理解的难度，也让我能够更专注于思考每一个数学概念的深层含义。我感觉自己仿佛置身于一个由精巧数学构造组成的迷宫，而作者则是一位循循善诱的向导，带领我一步步走出迷雾，最终抵达豁然开朗的彼岸。

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这本书的内容简直像是一场精妙的数学魔术表演，将我带入了一个充满奇思妙想的世界。我一直以为几何结构只是停留在纸笔上的二维或三维空间，但这本书彻底颠覆了我的认知。它展现了如何将抽象的代数结构与几何空间相结合，构建出更加复杂和有趣的数学对象。我被书中对流形、纤维丛等概念的深入剖析所震撼，它们不仅是纯粹的数学抽象，更是描述物理世界中时空、电磁场等现象的有力工具。作者用一种极其生动和富有启发性的方式，引导我一步步揭开这些复杂结构的神秘面纱。我惊喜地发现，那些曾经让我望而却步的深奥理论，在作者的笔下变得触手可及。每一次阅读都像是一次智力上的冒险，充满了惊喜和发现。我特别喜欢书中对不同几何理论之间联系的探讨，这种跨越性的视角让我对数学的整体性有了更深刻的认识，也激发了我对未来可能的研究方向的无限遐想。

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这本书给我带来的震撼，不仅仅是知识层面的，更是一种对数学思维方式的全新启迪。我一直以为自己对数学已经有了相当的理解，但这本书却像是为我打开了一扇通往更高维度的数学世界的大门。作者在对场论的阐述中，展现了数学如何成为描述自然规律的语言，那些抽象的数学方程背后，隐藏着深刻的物理意义。我开始重新审视那些我曾认为理所当然的物理现象，从数学的视角去理解它们的本质。书中对于拓扑学在几何结构中的应用的讨论，尤其令我着迷。它让我意识到，几何不仅仅是形状和大小，更是一种内在的、不随形变而改变的性质，这为理解物理世界的对称性和不变性提供了强大的数学工具。阅读这本书的过程，我感觉自己的大脑得到了极大的锻炼，思维的疆界也得到了无限的拓展，这是一种前所未有的学习体验。

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这本书给我带来了前所未有的学习动力和求知欲。我一直以来都对数学理论背后的深刻哲学意义感到好奇，而这本书恰恰满足了我的这种渴望。作者在讲解几何结构和场论时，不仅仅停留在数学的符号和公式层面，更深入地探讨了这些理论在解释宇宙奥秘方面的潜在作用。我被书中对黎曼几何和广义相对论之间联系的细致阐述所吸引，它让我看到了数学是如何精确地描绘出引力场的本质。阅读这本书的过程，我感觉自己仿佛与伟大的数学家和物理学家们进行了一场跨越时空的对话。每一页都充满了智慧的光芒，每一次思考都伴随着深刻的顿悟。我更加坚信，数学是理解世界的最强大工具，而这本书无疑是通往这个工具的绝佳钥匙。

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这本书的封面设计给我留下了深刻的印象，那种深邃的蓝色背景，点缀着抽象的几何图形，仿佛预示着我即将踏上一段探索未知数学宇宙的旅程。我一直对数学理论的精妙之处着迷，尤其是在结构和场的概念上，它们能够以如此优雅的方式解释和描述我们身边纷繁复杂的世界。当我第一次翻开这本书，就立刻被其中严谨的逻辑和清晰的论证所吸引。作者在开篇就构建了一个宏大的数学框架，将看似独立的几何概念巧妙地联系起来，形成了一个统一的整体。阅读过程中，我感觉自己像是置身于一座数学殿堂，每一个章节都如同精心雕琢的艺术品，展现着数学的逻辑之美和结构之韵。我尤其欣赏作者在阐述复杂概念时所使用的类比和图示，它们帮助我更好地理解那些抽象的数学语言，让我在享受智力挑战的同时，也能感受到数学的直观魅力。这本书不仅仅是一本学术著作，更像是一次引导读者深入思考的邀请，激发了我对数学更深层次的理解和探索欲望。

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