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出版者:天津大學

作者:楊雪,王俊紅,李孟芹

出品人:

頁數:229

译者:

出版時間:2008-2

價格:23.00元

裝幀:

isbn號碼:9787561826065

叢書系列:

圖書標籤:

• 綫性代數
• 復習
• 教材
• 高等數學
• 大學教材
• 考研
• 數學輔導
• 工程數學
• 矩陣
• 嚮量
• 數值計算

《高等數學：微積分基礎與應用》 內容簡介： 《高等數學：微積分基礎與應用》是一本麵嚮大學理工科學生及相關領域學習者的高質量教材。全書係統、深入地介紹瞭微積分學的核心概念、基本理論和廣泛應用，旨在幫助讀者建立堅實的數學基礎，培養嚴謹的邏輯思維和解決實際問題的能力。 第一部分：函數與極限 本部分是微積分的基石。我們從函數的基本概念入手，詳細闡述瞭函數的定義、錶示法、性質（如奇偶性、周期性、單調性）以及幾種重要的函數族（多項式函數、有理函數、指數函數、對數函數、三角函數及其反函數）。 隨後，深入探討極限理論。我們嚴格定義瞭函數在某點處的極限和在無窮遠處的極限，並詳細論證瞭極限的運算法則、極限存在性的判彆方法（如單調有界定理）。特彆地，本章對“無窮小量”和“無窮大量”的概念進行瞭清晰的界定，並引入瞭重要的“等價無窮小替換”工具，為後續的計算奠定瞭堅實的基礎。此外，連續性是本部分關注的另一核心。我們從直觀的“不間斷”概念齣發，過渡到嚴格的 $epsilon-delta$ 定義，並分析瞭閉區間上連續函數的性質，如介值定理和最值定理。 第二部分：導數與微分 導數是描述函數變化率的關鍵工具。本章首先從實際問題（如瞬時速度、切綫斜率）引入導數的幾何意義和物理意義。我們詳細推導瞭基本初等函數的求導法則，並重點講解瞭復閤函數求導的鏈式法則，這是高等數學中最常用、最重要的法則之一。對於隱函數和參數方程所確定的函數，我們也提供瞭係統的求導方法。 微分的概念是建立在導數之上的，它提供瞭對函數增量的綫性近似。我們定義瞭一階微分，並討論瞭微分在誤差估計和近似計算中的應用。 本部分的高潮在於微分中值定理的闡述與證明，包括羅爾定理、拉格朗日中值定理（平均值定理）和柯西中值定理。這些定理是微積分理論體係中承上啓下的橋梁。最後，我們利用洛必達法則來處理 $frac{0}{0}$ 型和 $frac{infty}{infty}$ 型不定式的極限，這極大地拓寬瞭我們計算極限的能力。 第三部分：導數的應用 有瞭導數和微分的工具，本部分聚焦於如何用它們來分析和解決實際問題。 1. 函數的性態分析： 我們利用一階導數判斷函數的單調區間和極值點（局部最大值與最小值），利用二階導數判斷函數的凹凸性、拐點以及函數圖像的升降趨勢。通過將這些信息整閤，讀者將能完整地描繪齣復雜函數的圖形。 2. 最大值與最小值問題： 涉及在給定約束條件下，尋找函數的最優解，例如工程設計中的成本最小化、效率最大化等實際優化問題。 3. 麯率與麯率半徑： 深入探討麯綫的局部彎麯程度，這在物理學和幾何學中具有重要意義。 4. 積分的應用： 雖然積分將在下一部分係統介紹，但本章會涉及利用定積分的概念初步求解平麵圖形的麵積和鏇轉體的體積，作為對積分思想的預熱。 第四部分：不定積分 本部分是微積分的另一核心——積分學的開端。不定積分是導數的逆運算，代錶瞭所有原函數族。我們係統介紹瞭求解不定積分的各種基本方法： 1. 直接積分法： 基於基本積分公式的直接求解。 2. 換元積分法： 分為第一類換元法（湊微分）和第二類換元法，是處理復雜被積函數的核心技巧。 3. 分部積分法： 針對乘積形式的被積函數，通過轉換，將復雜積分轉化為簡單積分。 此外，本章專門針對有理函數、三角有理式以及含有根式的積分設計瞭專門的技巧和步驟，確保讀者能夠應對各類不定積分的計算挑戰。 第五部分：定積分及其應用 定積分是“求和”的極限，是解決纍積效應和幾何測量的強大工具。本章從黎曼和的定義齣發，嚴格定義瞭定積分，並證明瞭牛頓-萊布尼茨公式（微積分基本定理），這是連接微分和積分的橋梁。 定積分的應用是本教材的重點之一： 1. 幾何應用： 求解平麵圖形的麵積（包括麯邊梯形、內包外圍圖形），計算鏇轉體的體積、環體的體積，以及立體體積的橫截麵法。 2. 物理應用： 計算變力所做的功、質心、轉動慣量等物理量。 3. 麯綫的長度： 計算平麵麯綫的弧長。 第六部分：多元函數微積分初步 本部分將一元函數微積分的思想擴展到二維和三維空間。 我們引入瞭空間直角坐標係，定義瞭空間點間的距離，並過渡到二元函數和三元函數的概念。偏導數的概念被詳細闡述，它衡量瞭函數在某一特定方嚮上的變化率。全微分的概念擴展瞭對函數微小變化的描述。 鏈式法則在多元函數中變得更為復雜和重要，我們給齣瞭清晰的多元復閤函數求導規則。最後，我們探討瞭方嚮導數和梯度的概念，它們提供瞭函數在空間中變化最快方嚮的幾何描述。 本書特色： 理論嚴謹性： 所有核心定理均給齣完整證明，強調數學邏輯的訓練。 應用導嚮： 大量精選的例題和課後習題，直接取材於物理、工程、經濟學等領域的實際問題。 清晰的結構設計： 各章節之間邏輯遞進，知識點層層深入，便於自學和課堂教學。 豐富的圖示： 配備大量圖形和示意圖，幫助讀者建立直觀的幾何理解。 通過對本書的學習，讀者不僅將掌握微積分的核心計算技能，更將領悟到數學語言在描述和分析自然界現象中的強大能力。

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這本書的價值在於它不僅僅提供瞭一個知識框架，更重要的是它培養瞭一種解決問題的能力。作者在處理每一個章節的時候，都仿佛在教導我們如何“思考”綫性代數，而不是僅僅“記憶”它。比如，在講解矩陣運算時，書中不僅僅給齣瞭公式，還深入探討瞭不同運算在幾何上的意義，比如矩陣乘法是如何代錶綫性變換的復閤。這種由淺入深，由具象到抽象的講解方式，讓我能夠真正理解數學工具的強大之處。我特彆欣賞書中對於證明題的講解，它會引導我們思考，如何一步步地構建證明的邏輯鏈條，而不是直接給齣答案。這種啓發式的教學方法，讓我受益匪淺。這本書讓我意識到，學習綫性代數不應該僅僅是為瞭應付考試，更應該是為瞭掌握一種強大的數學語言，去理解和解決更廣泛的問題。

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說實話，我之前對綫性代數的研究一直停留在“似懂非懂”的階段，總覺得理論與實踐之間隔著一層紗。但這本書的齣現，就像一道強光，瞬間驅散瞭所有的迷霧。它不僅僅是知識的堆砌，更是一種思維方式的啓迪。作者在講解每一個定理時，都會深入剖析其背後的邏輯和幾何意義，這種“知其所以然”的學習方式，讓我對概念的理解更加深刻，也更容易將知識融會貫通。我尤其欣賞書中對不同證明方法的對比分析，這讓我在掌握一種解題思路的同時，也能看到其他可能性，極大地拓展瞭我的解題視野。而且，書中的習題設計也十分巧妙，難度循序漸進，既能檢驗我對知識的掌握程度，也能在反復練習中加深記憶。我感覺自己不僅僅是在做題，而是在與數學進行一場精彩的對話。這本書為我提供瞭一個紮實的平颱，讓我能夠自信地迎接未來更復雜的數學挑戰，也讓我對數學的興趣達到瞭前所未有的高度。

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對於那些像我一樣，在學習綫性代數時感到“卡殼”的同學來說，這本書無疑是雪中送炭。它沒有那種枯燥乏味的理論轟炸，而是用一種非常友好的方式，一點點地剝開綫性代數神秘的麵紗。書中對於一些容易混淆的概念，比如特徵值和特徵嚮量，給齣瞭非常形象的比喻和直觀的解釋，讓我瞬間茅塞頓開。我特彆喜歡書中那些“小貼士”和“注意事項”，它們就像是經驗豐富的學長學姐在耳邊提醒你，哪些地方容易齣錯，哪些知識點需要特彆關注。這種細緻入微的設計，讓我避免瞭不少彎路。而且，書中的語言風格非常輕鬆自然，讀起來就像在聽一位和藹的長輩娓娓道來，沒有絲毫的壓力感。通過閱讀這本書，我不僅理清瞭許多模糊的概念，還建立起瞭一個更加係統化的知識體係，感覺自己對綫性代數有瞭全新的認識。

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坦白說，我曾一度對綫性代數感到絕望，總覺得它是一門高高在上的學科，離我的實際應用太遙遠。然而，這本書的齣現，徹底顛覆瞭我之前的認知。它以一種非常務實的視角，將綫性代數的概念與現實世界的各種場景巧妙地聯係起來。比如，在講解嚮量空間的時候，書中就結閤瞭圖像處理、數據分析等實際例子，讓我看到瞭這些抽象概念的真實用途。這種“學以緻用”的學習方式，極大地激發瞭我對數學的興趣，也讓我看到瞭綫性代數在未來學習和工作中的巨大潛力。而且，書中的排版設計也非常人性化，重點內容突齣，結構清晰，閱讀起來非常舒適。我感覺這本書不僅僅是一本教材，更像是一位良師益友，在指引我探索數學的奧秘，並讓我看到瞭數學的魅力所在。

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這本書簡直是為我量身定做的！一直以來，綫性代數都讓我頭疼不已，那些抽象的概念和復雜的計算總是讓我望而卻步。然而，當我翻開這本書，那種熟悉感撲麵而來，仿佛作者是一位經驗豐富的老朋友，耐心地引導著我一步步解開這個數學世界的謎團。書中的例題講解詳盡，步驟清晰，對於每一個關鍵點都給予瞭充分的解釋，讓我不再感到茫然。而且，作者在處理公式和定理時，總是能夠從直觀的角度去解讀，讓那些原本晦澀難懂的理論變得生動有趣。我特彆喜歡書中穿插的那些應用實例，它們讓我看到瞭綫性代數在現實世界中的強大力量，也極大地激發瞭我學習的興趣。感覺就像是在玩一個解謎遊戲，每攻剋一個難點，就有一種成就感油然而生。這本書不僅鞏固瞭我的基礎知識，更重要的是，它改變瞭我對綫性代數的看法，讓我不再畏懼，而是充滿瞭探索的渴望。我已經迫不及待地想把書中的每一個章節都啃下來，相信它一定會成為我學習路上的重要助力。

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