具体描述
《偏微分方程讲义(第3版)》是俄罗斯科学院院士О.А.奥列尼克多年来在莫斯科大学数学力学系为大学三年级学生讲授该课程基础上的扩充。内容包括偏微分方程理论的古典与现代理论的基础部分，以及泛函分析、广义函数理论、函数空间理论方面的一些知识。作者是И.Г.彼得罗夫斯基的学生，在偏微分方程这个方向享有盛名。此书反映了莫斯科大学在这个课程上，20世纪后半叶至今的新情况，可供我国偏微分方程课教学参考。
作者简介
奥列尼克，
20世纪杰出的女数学家。1942年考取彼尔姆州国立大学数学物理系，1944年转入莫斯科大学数学力学系，并在此一直工作到生命结束。1952年获切鲍塔列夫奖。1954年获罗蒙诺索夫一等奖，1991年当选为俄罗斯科学院院士，并成为许多国家的外籍院士。早在大学时代就开始了自己的科学研究，到了研究生时期对希尔伯特第16个问题中关于代数几何问题进行了研究，所得到的许多结果至今被广泛引用。从20世纪50年代起在高阶微分方程、非线性偏微分方程、力学、物理学等方面做了一系列杰出工作。
目录信息
第二版序
第一版序节录
第1章 辅助命题
1.1 符号.分析中的一些命题
1.1.1 赫尔德(Holder)不等式
1.1.2 弗里德里希斯(Fiedrichs)不等式
1.1.3 非负函数的导数的估计
1.2 磨光函数.广义导数
1.3 广义函数理论的基本概念与定理
1.3.1 广义函数空间D'(Ω)
1.3.2 广义函数的直积
1.3.3 广义函数的卷积
1.3.4 广义函数空间S'(Rn/χ)
1.3.5 微分方程的广义解
1.3.6 空间Hk(Ω)
第2章 偏微分方程的分类
2.1 归结为偏微分方程的一些物理问题
2.2 柯西问题.特征.方程的分类
第3章 拉普拉斯方程
3.1 调和函数.泊松方程.格林公式
3.2 基本解
3.3 借助势表示解
3.4 基本边值问题
3.5 算术平均定理.极值原理
3.6 格林函数.球的狄利克雷问题的解
3.7 边值问题解的唯一性和对边界条件的连续依赖性
3.8 导数的先验估计.解析性
3.9 刘维尔定理和弗拉格门-林德勒夫定理
3.10 调和函数的孤立奇点.在无穷远点邻域中的性态.无界区域的狄利克雷问题
3.11 关于调和函数序列.拉普拉斯方程的广义解.外尔引理
3.12 牛顿势.拉普拉斯算子的亚椭圆性
3.13 狄利克雷问题的广义解 o
3.13.1 H1(Ω)中函数的迹
3.13.2具有齐次边界条件的狄利克雷问题
3.13.3变分方法
3.13.4具有非齐次边界条件的狄利克雷问题
第4章 热传导方程
4.1 格林公式.基本解
4.2 解借助于势的表示.解的无穷次可微性
4.3 边值问题与柯西问题的提法
4.4 有界区域与无界区域中的极值原理
4.5 边值问题与柯西问题解的先验估计.唯一性定理.解的稳定性
4.6 导数的估计.解对变量χ的解析性.应用
4.7 刘维尔定理.关于可去奇点的定理.解族的紧性
4.8 借助傅里叶变换解柯西问题.体热势的光滑性
4.9 广义解.热传导算子的亚椭圆性
第5章 双曲型方程与双曲型方程组
5.1 波动方程
5.1.1 柯西问题.能量不等式
5.1.2 在n=3时柯西问题的解.基尔霍夫公式
5.1.3 降维法.在n=2时柯西问题的解.泊松公式
5.1.4 弦振动方程的达朗贝尔公式
5.1.5 基尔霍夫公式、泊松公式和达朗贝尔公式的定性研究.波在不同维数空间中的传播
5.1.6 非齐次方程.杜阿梅尔原理
5.2 弦振动方程的混合问题
5.3 双曲型偏微分方程组的柯西问题
5.4 柯西定理
5.5 柯瓦列夫斯卡娅定理及其推广
5.5.1 柯瓦列夫斯卡娅定理的证明
5.5.2 某些推广
5.5.3 不存在解析解的例子
5.6 可对称化组.戈杜诺夫条件
5.7 对称组柯西问题的解
5.7.1 唯一性定理
5.7.2 嵌入定理
5.7.3 先验估计
5.7.4 常系数方程组柯西问题解的存在性
5.7.5 杜阿梅尔原理
5.8 柯西问题的广义解
参考文献
名词索引
译者后记
· · · · · · (收起)
读后感
用户评价
坦白说，这本书的排版和装帧本身就透着一股严肃的学术气息，但这绝对不是评判其价值的标准。真正让我印象深刻的是其中对于近代研究进展的引入，那些往往在标准教材中被一笔带过或者干脆省略的内容，在这里得到了详尽的探讨。例如，关于变分法在椭圆型方程中的应用，作者不仅讲解了基础的能量最小化原理，还深入剖析了Sobolev空间的重要性及其在解的存在性证明中的关键作用。这使得读者能够迅速跟上当前的研究前沿，理解为什么现代偏微分方程的理论越来越依赖于泛函分析的工具。我感觉这本书更像是一座桥梁，连接了经典的分析理论与当代的数学物理应用。对于希望从事数值方法或非线性问题的研究者来说，这种对解析基础的深刻剖析，为后续的学习和研究打下了极为坚实的地基。它迫使你跳出二维直观的限制，进入到无限维空间的抽象世界。
这是一部需要伴随着笔记本和大量草稿纸才能读完的著作。它的价值不在于快速提供答案，而在于培养一种“提问”的能力。在阅读过程中，我发现自己不断地停下来，质疑书中所用的每一个假设，尝试去构造反例，或者思考是否存在更简洁的证明路径。这种主动的、批判性的阅读过程，恰恰是这本书给予读者的最大馈赠。作者在某些章节的论述极为精炼，以至于初读时感觉信息密度过高，但经过时间的沉淀和反复的思考，会发现那些看似跳跃的地方，其实隐藏着深刻的数学直觉。这本书对函数空间、Sobolev嵌入定理的介绍，虽然深度和广度都令人称赞，但它也清晰地暗示了这些工具并非孤立存在，而是紧密服务于方程的物理意义和解的正则性判断。总而言之，它是一次艰苦但绝对丰盛的智力盛宴，是通往更高阶数学研究殿堂的必备阶梯。
初次翻开这本书时，我立刻被那种扑面而来的严谨和深度所震撼。它绝非那种旨在让初学者轻松入门的读物，而更像是一场对数学前沿领域的深入探险。作者的笔触极其细腻，对于每一个概念的引入都做到了步步为营，仿佛在精心编织一张复杂的逻辑网络。阅读过程中，我常常需要停下来，反复咀嚼那些看似简洁却蕴含着深刻洞见的推导过程。特别是关于定性理论的阐述，作者似乎有一种魔力，能将抽象的数学语言转化为清晰的几何直觉，这对于理解诸如热传导或波动现象的本质至关重要。随书附带的习题设计也极具挑战性，它们不仅仅是简单的计算演练，更多的是引导读者去思考理论背后的深层联系和实际应用的边界条件。这本书无疑是为那些已经具备扎实分析基础，并渴望在偏微分方程领域深耕的研究生和青年学者量身定做的“武功秘籍”。它要求读者投入大量的时间和精力，但最终的回报是扎实的理论功底和解决复杂问题的信心。
这本书的行文风格与其说是“讲义”，不如说更像是一份高水平的学术研讨录。作者在讲述基本概念时，并没有采取那种教科书式的面面俱到，而是非常精炼地直击问题的核心。对于初次接触该领域的读者，可能会感到有些吃力，因为书中的许多跳跃需要读者具备一定的背景知识作为支撑。然而，对于有一定基础的读者来说，这种高度浓缩的表达方式恰恰是效率的保证。我特别欣赏作者在处理一些经典方程（如拉普拉斯方程和纳维-斯托克斯方程）的解析解构造时所展现出的那种数学家的优雅和智慧。每一步推导都像是一次精妙的数学舞蹈，虽然复杂，但逻辑链条完整无瑕。如果把阅读过程比作攀登一座高山，那么这本书提供的无疑是最近、最陡峭，但风景也最壮丽的路线。它更像是导师在你身边，用最精确的语言指引你快速到达理论制高点，而不是牵着你的手慢慢爬坡。
这本书的语言风格有一种独特的魅力，它既保持了数学的精确性，又偶尔流露出作者对这一学科深厚的热爱与洞察。在讲述一些历史性的突破或证明的巧妙之处时，那种“顿悟”的感觉仿佛能通过纸张传递过来。我尤其喜欢作者在介绍某些基本定理时，会附带上简短的背景介绍——不是关于谁首先证明了它，而是这个定理在数学结构中扮演了怎样的角色。这种“角色定位”的描述，极大地帮助我构建了偏微分方程知识体系的宏观框架。它不像某些参考书那样冰冷地罗列公式，而是试图将这些方程置于整个数学殿堂之中进行考量。虽然全书涵盖的内容广博，但作者处理非线性问题的态度尤为值得称道，他清晰地指出了线性理论的局限性，并预示了未来研究的难点所在，为读者指明了“尚未解决的疆域”。
调和函数性质来自复分析性质的推广，调和函数是椭圆方程的确定的自然函数类，调；而热方程这样的抛物方程的性质也要根据复分析这样完美的性质来进行推广：刘维尔定理；极值定理，可去奇点定理，解的形态：解族的紧性
调和函数性质来自复分析性质的推广，调和函数是椭圆方程的确定的自然函数类，调；而热方程这样的抛物方程的性质也要根据复分析这样完美的性质来进行推广：刘维尔定理；极值定理，可去奇点定理，解的形态：解族的紧性
调和函数性质来自复分析性质的推广，调和函数是椭圆方程的确定的自然函数类，调；而热方程这样的抛物方程的性质也要根据复分析这样完美的性质来进行推广：刘维尔定理；极值定理，可去奇点定理，解的形态：解族的紧性
调和函数性质来自复分析性质的推广，调和函数是椭圆方程的确定的自然函数类，调；而热方程这样的抛物方程的性质也要根据复分析这样完美的性质来进行推广：刘维尔定理；极值定理，可去奇点定理，解的形态：解族的紧性
调和函数性质来自复分析性质的推广，调和函数是椭圆方程的确定的自然函数类，调；而热方程这样的抛物方程的性质也要根据复分析这样完美的性质来进行推广：刘维尔定理；极值定理，可去奇点定理，解的形态：解族的紧性
