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出版者:科学

作者:王树禾

出品人:

页数:291

译者:

出版时间:2008-1

价格:33.00元

装帧:

isbn号码:9787030202086

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《数学模型选讲》 本书精选了十余个在科学、工程、经济、社会等领域具有代表性和广泛应用性的数学模型，旨在为读者提供一个深入理解数学模型构建、分析与应用的平台。全书内容紧密围绕“模型”这一核心概念展开，从基础的线性回归模型到复杂的动态系统模型，层层递进，由浅入深。 第一部分：基础模型与思想 模型化思维的初步探索： 本章将介绍什么是数学模型，以及在现实世界问题中引入数学模型的必要性和基本流程。我们将通过一些贴近生活的简单例子，如人口增长的指数模型、传染病的传播模型等，阐释模型的基本思想，强调简化、抽象与逼近在模型构建中的作用。读者将了解到，数学模型并非对现实的完全复制，而是通过提炼关键因素，用数学语言来描述事物的本质规律。 线性模型及其应用： 线性模型是最基础也是最强大的模型之一。本章将深入探讨一元线性回归和多元线性回归模型，讲解最小二乘法的原理与应用，包括模型参数的估计、显著性检验、模型诊断等。我们将结合实际案例，如房价预测、产品销量分析等，展示线性模型如何帮助我们理解变量之间的线性关系，并进行预测。同时，也会涉及一些简单的线性规划模型，介绍其在资源分配、生产调度等问题中的应用。 非线性模型：超越线性思维： 现实世界中，许多关系并非简单的线性。本章将介绍一些典型的非线性模型，如指数模型、对数模型、幂函数模型等，并讨论如何通过变量替换或变换将其转化为线性模型进行处理。我们将重点讲解逻辑斯谛模型，分析其在种群增长、市场饱和等问题中的应用。此外，还将初步介绍非线性回归的基本思想和求解方法。 第二部分：动态与优化模型 微分方程模型：刻画变化的世界： 动态过程是自然界和社会中普遍存在的现象。本章将介绍如何利用微分方程来描述事物的变化率，从而构建动态模型。我们将从最简单的微分方程模型入手，如牛顿冷却定律、放射性衰减模型，逐步深入到更为复杂的模型，例如洛特卡-沃尔泰拉捕食者-猎物模型。读者将学习到如何对方程进行求解（解析解或数值解），并分析模型的长期行为和稳定性。 离散动力学模型：迭代的魅力： 与微分方程模型对应，离散动力学模型则关注事物在离散时间点上的演化。本章将介绍差分方程模型，并通过著名的斐波那契数列、人口年龄结构模型等例子，展示其在经济周期、生物种群繁衍等方面的应用。特别是，我们将深入探讨混沌理论的初步概念，通过Logistic映射等离散模型，揭示简单非线性系统可能产生的复杂行为。 优化模型：追求最优解： 在许多问题中，我们不仅需要描述现象，更需要找到最优的解决方案。本章将介绍优化模型的基本框架，包括目标函数、决策变量和约束条件。我们将重点讲解线性规划的深入应用，如运输问题、指派问题等，以及如何利用单纯形法等算法求解。此外，还将初步介绍非线性规划和整数规划的基本概念，为解决更复杂的优化问题奠定基础。 第三部分：概率与统计模型 概率模型：量化不确定性： 随机性是现实世界的重要组成部分。本章将引入概率论的基本概念，如随机变量、概率分布（离散和连续）、期望、方差等。我们将详细讲解几种重要的概率分布，如二项分布、泊松分布、正态分布、指数分布，并讨论它们在不同情境下的适用性，例如事件发生的次数、测量误差、等待时间等。 统计推断与模型：从数据到洞察： 统计模型是利用样本数据对总体进行推断的有力工具。本章将介绍统计推断的基本思想，包括参数估计（点估计和区间估计）和假设检验。我们将重点讲解如何构建和检验统计模型，例如利用样本均值和方差推断总体均值，以及如何进行t检验、卡方检验等。读者将学习到如何根据数据特征选择合适的统计模型，并对模型进行评估。 马尔可夫链模型：理解序列依赖： 在许多系统中，下一状态的发生仅取决于当前状态，与过去的状态无关。本章将介绍马尔可夫链的定义和性质，讲解转移概率矩阵的构建与应用。我们将通过语言模型、网页排名（PageRank算法的简化思想）、股票价格变动等案例，展示马尔可夫链在序列数据分析、状态转移预测等领域的强大能力。 第四部分：特定领域模型 排队论模型：分析服务系统： 在日常生活中，我们经常会遇到排队现象，如银行柜台、超市结账等。本章将介绍排队论的基本模型，包括到达过程、服务过程、队列结构等。我们将讲解M/M/1、M/M/c等经典排队模型，分析其性能指标，如平均队长、平均等待时间等，并讨论如何利用这些模型来优化服务系统，提高效率。 博弈论模型：策略的较量： 博弈论是研究理性个体之间策略互动行为的学科。本章将介绍零和博弈和非零和博弈的基本概念，讲解纳什均衡等核心概念。我们将通过一些经典的博弈模型，如囚徒困境、古诺模型、斯塔克尔伯格模型，来展示如何分析不同参与者的策略选择，以及在竞争和合作环境中做出最优决策。 传染病动力学模型：理解疾病传播： 传染病模型是研究疾病在人群中传播规律的模型。本章将介绍SIR、SEIR等经典传染病模型，讲解模型中各状态的含义和方程的意义。我们将分析模型的参数对疾病传播的影响，如基本再生数（R0）的计算，并讨论如何利用模型来预测疫情发展趋势，评估干预措施的效果。 本书力求在理论讲解与实际应用之间取得平衡，每个模型都配有详细的数学推导和典型的应用案例。通过学习本书，读者不仅能够掌握不同数学模型的构建方法和分析工具，更能培养用数学的视角去观察、理解和解决现实世界问题的能力，为进一步深入学习和研究相关领域打下坚实的基础。

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这本书的排版和装帧质量确实值得称赞，纸张的质地很好，长时间阅读眼睛也不容易疲劳。从内容的组织上看，它采取了一种螺旋上升的结构，前面章节建立的基础，在后面章节中会以更复杂的形式被重新调用和深化。我特别喜欢作者在介绍线性规划的对偶性理论时的那段叙述，他没有直接给出复杂的代数推导，而是通过一个“影子价格”的经济学直觉来引导我们理解对偶问题的几何意义。这种平衡数学严谨性与直观理解的努力，使得这本书的难度虽然不低，但阅读体验却比许多纯粹的教科书要友好得多。当然，对于初学者来说，中间那些关于拉格朗日乘子法的应用部分，需要极强的空间想象力去把握那些高维曲面的切线关系。这本书更适合那些已经对微积分和线性代数有扎实基础，并且渴望将这些工具应用于解决实际复杂问题的人群。它像一把精密的尺子，帮助你测量那些原本无法触及的抽象领域。

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说实话，这本书拿到手里时，我有点被它的“厚度”吓到了。我本来以为会是一本轻松的入门读物，结果发现它更像是一本需要带着计算器和笔记本才能啃完的“武功秘籍”。它的语言风格，怎么说呢，非常“学术化”，每一个定义、每一个定理的提出都经过了层层铺垫和严格论证，几乎找不到任何可以跳跃阅读的地方。我最欣赏的是作者对待“假设”的态度，他总是会非常明确地指出模型建立过程中所依赖的那些基础假设，并且会探讨当这些假设条件被轻微打破时，模型的解会发生怎样的变化。这种对模型局限性的坦诚，让我对书中的结论更加信服。有一段时间，我试图用书中的优化算法来解决一个供应链管理的实际问题，结果发现，在实际操作中，由于数据噪声和非线性约束的存在，理论解和实际最优解之间存在着明显的鸿沟。这本书让我深刻认识到，数学模型是理想化的工具，它能指引方向，但绝不能完全替代实践经验的判断。它更像是一个严厉的导师，教你如何精确地犯错，然后从中学习。

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我是在一个偶然的机会下接触到这本书的，当时正在为一个关于城市交通流动的项目寻找理论支持。这本书的结构设计得非常精巧，它似乎并不追求面面俱到地覆盖所有数学分支，而是像一个技艺精湛的匠人，挑选了几样最锋利的工具——比如微分方程和图论——然后将它们运用到极致。我印象最深的是其中关于网络拓扑结构稳定性的讨论，那部分将抽象的数学概念与现实中的通信网络故障联系起来，读起来酣畅淋漓，有一种“原来如此”的豁然开朗。作者的行文风格非常内敛，几乎没有过多抒情或华丽的辞藻，全凭严谨的逻辑链条来吸引人。对于那些希望深入理解复杂系统如何被数学“驯服”的读者来说，这本书无疑是一座宝藏。唯一让我感到有些遗憾的是，书中的案例大多偏向于工程和物理领域，如果能有更多贴近社会科学或生物学前沿的实例来佐证，或许能拓宽读者的应用视野，让那些纯粹的理论模型更具烟火气。但瑕不掩瑜，其对模型构建思想的深刻阐述，已是极高水平。

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这本厚重的书摆在书架上，光是封面那种略显复古的字体和暗色调的插图，就让人感觉到一股严肃的气息。初翻开来，里面的内容似乎聚焦于一些宏观的经济现象，比如资源配置的最优化问题，以及如何在不确定的市场环境下做出理性的决策。我记得有一章详细分析了博弈论在商业竞争中的应用，那部分内容简直是引人入胜，用极其简洁的数学语言勾勒出了复杂的人类互动模式。作者在讲解如何建立模型时，总是会先用一个贴近生活的、略带哲学意味的场景引入，让人在思考“为什么需要模型”这个问题上就先入迷了。不过，说实话，书中涉及到概率论和统计推断的部分，对于我这种非科班出身的读者来说，阅读起来略显吃力，那些复杂的积分符号和矩阵运算，着实需要反复揣摩。我花了整整一个周末，才勉强跟上作者关于随机过程的论述。尽管如此，它提供的分析框架，确实改变了我看待日常商业新闻的角度，让一切看似混乱的社会事件，都仿佛被套上了一层清晰的逻辑外衣。这本书的价值，可能更体现在它教会了你一种思考世界的“方法论”，而非仅仅是知识的堆砌。

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我是在一个研讨会上听一位教授推荐后购买的，拿到手后便沉浸其中，仿佛进入了一个由数字和逻辑构筑的微观世界。这本书最让我耳目一新的是它对“不确定性”的处理方式。它没有回避现实世界的模糊性，而是巧妙地引入了模糊集理论和粗糙集理论等相对小众但极其有用的工具，来量化那些难以用传统概率描述的“似是而非”的状态。例如，书中探讨了如何对“高风险”或“低满意度”这类主观概念进行数学建模，这对我后续进行用户体验分析帮助极大。作者的论证过程充满了数学的诗意，每一步推导都像是在解开一个精妙的谜团，逻辑链条紧密得令人拍案叫绝。唯一的不足可能在于，这本书的更新速度似乎跟不上现代科技发展的步伐，有些关于新兴计算范式（比如某些基于深度学习的优化方法）的讨论略显保守。但即便如此，它提供的那些经典且稳固的建模范式，依然是理解任何复杂系统分析的基石。读完它，你会觉得自己的思维“升级”了，看待世界不再满足于表象的描述，而是开始探究其背后的结构和函数关系。

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