高等数学（下册） pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:7-81130

作者:田立新

出品人:

页数:292

译者:

出版时间:2007-9

价格:23.00元

装帧:

isbn号码:9787811300017

丛书系列:

图书标签:

• 高等数学
• 数学
• 微积分
• 理工科
• 教材
• 大学
• 下册
• 函数
• 极限
• 导数

《高等数学（下册）》内容详尽介绍 本书内容涵盖了传统微积分体系中，继基础微积分（通常在“上册”讲解）之后，更为深入和广泛的分析学分支，主要聚焦于多元函数微积分、常微分方程、级数理论以及向量分析等核心领域。 本书旨在为理工科、经济学、计算机科学等专业学生构建坚实而全面的数学分析基础，为后续的专业课程学习和科学研究打下不可或缺的理论支撑。 --- 第一部分：多元函数微积分（Multivariable Calculus） 本部分是全书的基石之一，将单变量函数的研究方法扩展到多维空间，处理涉及两个或更多自变量的函数。 第一章 空间几何与向量代数回顾与扩展 空间坐标系与基本概念： 介绍三维直角坐标系、柱坐标系和球坐标系，以及它们之间的转换。 向量基础： 向量的线性运算（加法、数乘），点积（数量积）及其几何意义（投影、夹角），叉积（向量积）及其在确定平面法向量和力矩中的应用。 曲线与曲面的向量表示： 参数方程在描述空间曲线（如螺旋线）中的应用，曲面的基本定义与描述方法。 第二章 多元函数与偏导数 多元函数的定义域与图像： 讲解定义域在 $mathbb{R}^n$ 中的表示，以及函数在 $mathbb{R}^3$ 空间中的几何表示（如等高线图）。 极限与连续性： 严格定义多元函数在某点处的极限，讨论沿不同路径趋近时的路径依赖性问题，以及多元函数的连续性概念。 偏导数： 引入偏导数的概念，计算方法，以及高阶偏导数。 全微分： 建立全微分的概念，理解其在局部线性近似中的作用，以及全微分存在性与连续可微性的关系。 链式法则（Chain Rule）： 详述多元复合函数的求导法则，这是处理复杂函数关系的关键工具。 第三章 多元函数的极值与最优化问题 方向导数与梯度（Gradient）： 深入理解梯度向量的物理意义——函数增长最快的方向和速率。解释方向导数的计算。 极值条件： 确定多元函数（不带约束）的局部最大值和最小值。利用一阶偏导数等于零的必要条件寻找驻点。 二阶偏导数检验（Hessian 矩阵）： 利用海森矩阵（Hessian Matrix）的性质（特征值或行列式判别法）来判断驻点是局部极大值、局部极小值还是鞍点。 拉格朗日乘数法（Lagrange Multipliers）： 解决带有等式约束条件的最优化问题，详述约束曲面上的极值点的求解过程和几何解释。 第四章 多重积分（Multiple Integrals） 二重积分： 定义二重积分，理解其在几何上代表曲面下的体积。介绍直角坐标系下的计算方法（累次积分）。 改变积分次序： 讨论何时以及如何交换二重积分的积分次序以简化计算。 变量替换： 引入雅可比行列式（Jacobian Determinant）的概念，用于处理极坐标系、柱坐标系、球坐标系下的积分。 三重积分： 将概念扩展到三维空间，用于计算质量、质心、转动惯量等物理量。 --- 第二部分：向量场与积分（Vector Field Integrals） 本部分是连接微积分与物理学、工程学的重要桥梁，主要涉及线积分、面积分以及三大基本定理。 第五章 曲线积分与面积分 线积分（Line Integrals）： 曲线积分的定义（对弧长的积分和对坐标的积分）。物理意义（如功的计算）。 路径无关性与保守场： 引入保守向量场的概念，讨论如何通过势函数（Potential Function）来判断一个向量场是否保守，并利用路径无关性简化计算。 格林公式（Green's Theorem）： 将平面区域上的二重积分与该区域边界上的曲线积分联系起来，是理解更高维度积分定理的基础。 曲面积分（Surface Integrals）： 定义曲面积分，用于计算穿过曲面的流量（Flux）。 参数化曲面上的积分： 讲解曲面的参数化表示以及如何计算曲面的面积。 第六章 散度、旋度和三大基本定理 向量场的散度（Divergence）： 物理意义（源或汇的强度）。 向量场的旋度（Curl）： 物理意义（旋转强度）。 高斯公式/散度定理（Gauss's Theorem）： 将向量场穿过封闭曲面的流量与该曲面所包围的区域内的散度的三重积分联系起来。这是连接体积分和面积分的关键。 斯托克斯公式（Stokes' Theorem）： 将向量场沿封闭曲线的线积分与该曲面上的旋度面积分联系起来。 --- 第三部分：常微分方程（Ordinary Differential Equations, ODEs） 本部分侧重于建立描述自然界和工程中动态变化规律的数学模型，并求解这些方程。 第七章 一阶常微分方程 基本概念： 微分方程的阶、自变量、因变量，以及初始条件（定解问题）。 可分离变量方程： 最基础的求解方法。 精确方程与积分因子： 求解形式不明显的微分方程。 一阶线性微分方程： 求解通用的 $frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$ 形式。 伯努利方程及其它可降阶方程。 第八章 高阶线性常微分方程 二阶及高阶线性方程的性质： 齐次解与特解的概念，解空间的线性相关性。 常系数齐次线性方程： 特征方程的解法（实根、重根、复根情况）。 常系数非齐次线性方程： 待定系数法和常数变易法（Variation of Parameters）的详细应用。 欧拉方程（Cauchy-Euler Equations）。 微分算子法（Operator Method） 的初步介绍。 第九章 拉普拉斯变换（Laplace Transform） 变换的定义与性质： 解释拉普拉斯变换如何将微分方程转化为代数方程，极大地简化了求解过程。 逆变换的求法： 利用分部积分和查表法。 利用拉普拉斯变换求解带有初始条件的常微分方程： 特别是处理阶跃函数和狄拉克 $delta$ 函数等不连续输入信号的问题。 --- 第四部分：级数（Series） 本部分研究无穷序列的极限，以及无穷级数的收敛性，为泰勒级数和傅里叶级数打下基础。 第十章 数列与级数 收敛性判定： 介绍级数收敛的必要条件。 正项级数判别法： 比较判别法、比值判别法（Ratio Test）、根值判别法（Root Test）。 交错级数： 莱布尼茨判别法（Alternating Series Test），绝对收敛与条件收敛的概念。 幂级数（Power Series）： 确定幂级数的收敛半径和收敛区间。 第十一章 泰勒级数与傅里叶级数简介 泰勒级数与麦克劳林级数： 利用已知的基本函数级数（如 $sin x, e^x, ln(1+x)$）推导复杂函数的级数展开式。 函数展开的应用： 利用泰勒多项式进行函数逼近。 傅里叶级数概述： 介绍将周期函数分解为正弦和余弦级数的基本思想和初步计算方法，这是信号处理和偏微分方程的基础。 --- 总结： 《高等数学（下册）》承接了微积分的初步知识，深入探讨了多变量世界中的变化率、累积量、场的性质，以及动态系统的数学描述。它要求读者具备严谨的逻辑思维和扎实的代数运算能力，是通往工程科学和现代数学领域的必经之路。

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