Problems in Group Theory pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:Dover Pubns

作者:Dixon, John D.

出品人:

页数:192

译者:

出版时间:2007-1

价格:$ 14.63

装帧:Pap

isbn号码:9780486459165

丛书系列:

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探索抽象代数之美：群论中的奥秘与应用 《抽象代数入门：群论基础与进阶》 是一本专为数学爱好者、本科生以及希望深入理解代数结构的研究者量身打造的力作。本书致力于系统地揭示群论这一抽象代数核心分支的魅力，从基础概念的严谨阐释，到复杂理论的深入剖析，再到实际应用的广泛展示，力求为读者构建一个全面而深刻的群论知识体系。 第一部分：奠定坚实基础——群论的基石 在本书的开篇，我们首先会带领读者进入群论的奇妙世界。我们将从最基本的定义出发，详细阐述什么是群，以及群的各种性质，例如结合律、单位元和逆元的存在性。通过一系列精心设计的例子，从整数加法群到对称群，我们将直观地理解这些抽象概念在具体数学对象中的体现。 随后，本书将深入探讨群的子结构，包括子群、陪集和拉格朗日定理。理解子群是探索群结构的关键，我们将通过不同群的子群分类，展示子群的丰富性和多样性。陪集概念的引入，为我们理解群的划分方式提供了新的视角，而拉格朗日定理作为群论中最基本也是最重要的定理之一，我们将对其进行详尽的证明和应用讲解，探讨其在有限群分类中的重要作用。 此外，本书还会详细介绍正规子群、商群以及同态与同构。正规子群是构造商群的必要条件，我们将深入理解其性质，并通过具体的例子构建商群，感受其“因子”的含义。同态与同构则是刻画群之间关系的有力工具，我们将通过同态定理，揭示不同群结构之间的内在联系，为后续的学习打下坚实的基础。 第二部分：深化理论探索——群论的深度与广度 在掌握了群论的基本工具之后，本书将进一步拓展读者的视野，进入更深层次的理论探索。我们将详细讲解循环群、有限生成阿贝尔群以及它们的分类。循环群是最简单的群，其结构清晰，易于理解，我们将通过其性质来理解更一般的群。有限生成阿贝尔群的分类定理是群论中的一个重要里程碑，我们将对其进行详细的证明，并展示其在各种数学场景中的应用。 接着，本书将重点介绍西罗定理。西罗定理是有限群理论的基石，它为我们提供了研究有限群结构的重要工具。我们将详细阐述三个西罗定理的内容，并通过大量实例来演示如何运用西罗定理分析有限群的结构，例如判定一个群是否为简单群，或者刻画具有特定阶的群。 此外，本书还将涉及一些高级主题，如群的表示论。表示论是将抽象的群结构映射到线性代数中的向量空间上的线性变换，这使得我们可以用更直观的矩阵来研究群的性质。我们将介绍表示的基本概念，如不可约表示和特征标，并展示如何利用表示论来解决群论中的一些复杂问题。 第三部分：群论的实践应用——跨越学科的桥梁 群论并非仅仅是抽象的数学游戏，它在众多科学和工程领域都扮演着至关重要的角色。本书将带领读者领略群论的广泛应用，从纯粹数学的领域，到物理、化学、密码学乃至计算机科学。 在纯粹数学内部，群论是代数几何、拓扑学、数论等领域的重要基础。我们将展示群论如何帮助理解代数簇的对称性，如何用于研究空间的连通性和分类，以及如何在数论中解决一些古老而深刻的问题。 在物理学领域，群论是量子力学、粒子物理学和晶体学等学科不可或缺的工具。我们将解释群论如何描述粒子的对称性，如何帮助理解基本粒子的分类和性质，以及如何在晶体结构分析中发挥作用。 在化学领域，群论为理解分子的对称性和光谱性质提供了理论框架。我们将阐述点群的概念，以及如何利用群论来预测和解释分子的光谱数据，从而辅助化学实验和理论研究。 在密码学领域，群论的应用尤为突出。本书将介绍公钥密码体制，如RSA算法，以及基于离散对数问题的加密方案，深入分析它们所依赖的群论原理。读者将了解群论如何保障信息安全，以及在现代密码学中的关键作用。 在计算机科学领域，群论也在算法设计、编码理论和人工智能等方向有所应用。我们将探讨群论在图论问题中的作用，以及在纠错码设计中的贡献。 本书特色： 逻辑严谨，循序渐进： 从基础概念到高深理论，结构清晰，内容衔接自然，确保读者能够逐步掌握。 概念清晰，例证丰富： 每一个抽象概念都配以大量精心挑选的例子，帮助读者建立直观理解。 理论与应用并重： 既深入讲解理论，又广泛展示实际应用，体现群论的强大生命力。 练习题精炼，覆盖全面： 每章都配有适量的练习题，帮助读者巩固知识，检验学习效果。 语言流畅，避免晦涩： 采用清晰易懂的语言，力求让不同背景的读者都能从中受益。 《抽象代数入门：群论基础与进阶》 不仅仅是一本教科书，更是一扇通往抽象代数世界的大门，它将引领您发现数学中最深刻、最优雅的结构，感受抽象思维的无穷魅力，并认识到群论在现代科学技术中所扮演的关键角色。无论您是初学者还是已有基础，本书都将是您在群论海洋中航行的可靠伙伴。

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我最近沉迷于这本书的某个章节，主要是关于有限群的表示论那一块。说实话，一开始我对这部分内容是心存畏惧的，因为涉及到线性代数和抽象代数的交叉融合，难度系数很高。然而，作者的叙述方式简直是化繁为简的大师手笔。他没有急于抛出那些复杂的矩阵方程，而是先用非常直观的语言，阐述了“表示”这个概念在物理学和化学领域中的实际意义，一下子就抓住了我的兴趣点。接着，作者才慢慢引入特征标理论，每一步的逻辑推理都如同抽丝剥茧般清晰，让你感觉每一步的结论都是不可避免的、水到渠成的。有一处关于不可约表示的分解，我在线上论坛咨询过好几个不同版本的教材，都没有得到如此透彻的解释，但这本书通过一个巧妙的例子，让我瞬间豁然开朗。书中引用的参考文献也十分权威且全面，如果你想深入钻研某个特定的子领域，它提供的线索是极其宝贵的资源。这本书不仅仅是知识的罗列，更像是一位经验丰富的导师，在你迷茫时，轻轻推你一把，指引你看到柳暗花明之处。

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阅读体验上，这本书的语言选择是极其考究的，它在保持数学文本应有的精确性的同时，避免了不必要的术语堆砌和晦涩难懂的冗余表达。作者的行文风格在不同章节间保持着一种微妙的平衡——既有早期严谨的定义和清晰的逻辑链条，也有后期对复杂结构进行概括性描述时的那种宏大视角。特别是对某些核心定理的“哲学”思考部分，作者会探讨为什么这个理论是重要的，它解决了哪些历史上的难题，这种历史的纵深感让冰冷的数学符号变得有血有肉起来。我注意到，书中的术语表（如果单独成册的话）一定会非常详尽，因为作者在首次引入新概念时，会给出多个角度的定义和解释，确保读者不会因为对某个词汇理解偏差而导致后续整个章节的理解受阻。这本书无疑是一部值得反复研读的经典之作，其深度足以支撑研究生阶段的学习，其清晰度又能让有一定基础的本科生受益匪浅，是一本极具收藏价值的工具书。

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这本书的封面设计着实令人眼前一亮，那种深沉的蓝色调配上烫金的字体，散发着一种经典而又略带神秘的气息，很符合我对高深数学理论书籍的期待。初翻开来，纸张的质感也相当不错，厚实且光滑，让人在长时间阅读时也不会感到疲劳。内容组织上，作者展现了高超的结构化能力，知识点之间的衔接过渡得非常自然流畅，即使是初学者，也能循序渐进地跟上作者的思路。特别是对基础概念的引入部分，用词精炼却又不失严谨性，很多抽象的定义都通过精心设计的例子得到了生动的阐释，这极大地降低了理解难度的门槛。我尤其欣赏作者在每一章节末尾设置的“思考与拓展”部分，它们往往能引导读者跳出现有的框架，去思考更深层次的问题，这种启发式的教学方法，远比单纯的知识灌输要有效得多。这本书的排版也十分考究，公式的居中和编号清晰明了，图表的清晰度也无可挑剔，这在阅读复杂数学推导时至关重要，避免了因排版混乱而产生的阅读挫败感。总而言之，从装帧到内容布局，都透露出一种对读者体验的尊重与匠心。

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这本书的难度曲线设置得非常巧妙，它不是那种一开始就用最难的理论把你击垮的书，而是采取了一种“先易后难，渐入佳境”的策略。前几章主要夯实基础，语言风格相对平实，更侧重于概念的准确定义和基本性质的验证。但当你进入到中后部分，比如涉及群作用、商群以及同构定理的深入探讨时，你会明显感觉到作者开始采用更具数学家风格的简洁和锐利。这里的论证不再像前面那样事无巨细，而是要求读者必须主动运用前文积累的知识进行推导。我个人认为，这才是真正培养独立思考能力的关键。很多教科书在处理这些高级定理时，要么过于简化，要么直接堆砌证明，让人无法体会证明的精妙之处。而这本则是在关键步骤提供启发，留出“空白”让你去完成，这种“半引导”式的教学，极大地提升了我的解题信心和数学直觉。读完关于Sylow定理的章节后，我感觉自己对有限群的结构有了更深层次的掌控感，这是一种非常扎实的成就感。

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我发现这本书在处理例子和应用方面做得非常出色，这在很多纯理论著作中是比较罕见的。它并没有将理论与实际应用完全割裂开来，而是将一些经典群论问题，比如晶体结构中的对称性、密码学中的有限域结构等，穿插在理论推导过程中。这些例子不是那种为了凑数而硬加进去的，而是真正服务于理论的阐释。例如，当介绍生成元和群阶的概念时，作者选取了常见的二面体群和循环群，并用几何图形直观地展示了它们的生成过程和元素周期性，这对于视觉学习者来说简直是福音。更难能可贵的是，它对一些著名的未解决问题或前沿研究方向也做了简要的介绍，虽然篇幅不长，但为那些渴望继续深造的读者指明了方向，展现了作者对该领域全貌的掌握。这本书的价值，就在于它既能满足课堂学习的严谨性要求，又能激发读者对数学世界更广阔边界的好奇心。

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基本做完了，剩下20多个问题慢慢想。

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