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出版者:Springer

作者:Klaus Jänich

出品人:

页数:283

译者:L. Kay

出版时间:2001-2

价格:USD 59.95

装帧:Hardcover

isbn号码:9780387986494

丛书系列:Undergraduate Texts in Mathematics

图书标签:

• 数学
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《数学的宏伟疆域：微积分与几何的交响》 这是一部深入探索微积分与几何学之间深层联系的著作，旨在揭示这两个数学分支如何交织、互补，共同构建我们理解空间、运动及变化的强大工具。本书并非专注于特定数学概念的孤立讲解，而是着力于呈现数学思想的演进脉络及其在更广阔图景中的意义。 第一章：从静态到动态——微积分的起源与视角 本章追溯微积分思想的萌芽，探讨古希腊时期几何学对运动和变化的初步尝试，如阿基米德的穷竭法。随后，我们将目光聚焦于牛顿和莱布尼茨的划时代贡献，理解微分与积分作为互逆运算的核心理念如何彻底改变了数学的面貌。我们将深入分析极限概念的严谨化发展，以及它如何为微积分提供了坚实的基础，使其能够处理无穷小和无穷大的概念。本章还将审视微积分在物理学早期发展中的关键作用，例如运动学和万有引力定律的描述，展示数学工具如何成为理解自然规律的语言。 第二章：几何的语言——空间、形状与度量 此章节将聚焦于几何学的基本概念，并将其置于更普遍的空间框架下进行考察。我们将回顾欧几里得几何的公理体系，理解其在平面和三维空间中对形状、大小和位置的精确描述。在此基础上，本书将探讨非欧几何的出现，例如黎曼几何，以及它们如何拓展了我们对空间的认知，为理解弯曲空间提供了理论基础。我们将详细介绍度量概念在几何中的重要性，以及如何通过度量来量化距离、角度和面积，并初步触及曲面和高维空间的几何特性。 第三章：连接与转化——微积分在几何中的应用 本章是本书的核心，将深入探讨微积分如何成为几何学研究的强大引擎。我们将详细讲解曲线的长度、曲面的面积以及三维物体的体积如何通过积分计算得到，展示微积分如何赋予几何对象量化的能力。此外，本书还将重点阐述微分在几何中的作用，例如切线、法线、曲率等概念，它们如何描述局部几何性质，并揭示曲线和曲面的局部行为。我们将探讨曲线和曲面的参数化表示，以及如何利用微积分工具分析这些表示，从而理解其动态变化和内在结构。 第四章：变化的形态——微分方程的魅力 本章将介绍微分方程这一至关重要的数学工具，它是描述事物随时间或空间变化的动态过程的核心语言。我们将从简单的微分方程入手，解释其基本形式和求解方法，并逐步深入到更复杂的方程。本书将着重阐述微分方程在描述物理现象中的广泛应用，例如人口增长、放射性衰变、热传导以及机械振动等。我们还将探讨偏微分方程在描述多变量变化过程中的独特地位，以及它们在流体力学、电磁学等领域的关键作用。 第五章：多元世界的探索——多变量微积分的拓展 随着我们对空间和变化的理解越发深入，本书将自然而然地引入多变量微积分。我们将探讨多元函数的概念，以及偏导数和梯度如何帮助我们理解函数在不同方向上的变化率。梯度下降等优化方法将被详细介绍，展示多变量微积分在解决复杂问题时的强大威力。此外，我们还将介绍多重积分，它不仅能够计算多维区域的体积，更是理解物理学中各种积聚量的基础，如质量分布、电荷密度等。 第六章：向量的视角——理解空间中的力与场 本章将引入向量的概念，并阐述其在描述物理量和几何对象时的便利性。我们将探讨向量的加减法、标量乘法以及点积和叉积，理解它们在几何和物理中的直观意义。本书将详细讲解向量场和标量场，这些概念是描述物理现象（如引力场、电场、速度场）的基石。我们将探讨散度、旋度和拉普拉斯算子等重要算子，理解它们如何揭示场的性质，例如场的源汇、旋转性以及场的平滑程度。 第七章：整合与统一——积分变换与场论 本章将进一步深化对积分与场论的理解。我们将介绍线积分和面积分，它们是计算通过曲线或曲面的物理量（如功、流量）的关键工具。格林公式、高斯散度定理和斯托克斯定理等重要的积分定理将被详细讲解，揭示微积分在不同维度之间的深刻联系，展示它们如何统一和简化对物理场的分析。本书将强调这些定理在理解守恒律和场论本质中的重要作用，为读者提供一种全新的视角来理解数学与物理世界的和谐统一。 第八章：数学建模与现实世界的联系 本书的最后一章将聚焦于数学的实际应用，展示微积分和几何学如何被用来构建数学模型，解决现实世界中的问题。我们将讨论如何将复杂的物理或工程问题抽象化为数学方程，并利用本书介绍的数学工具进行分析和求解。案例研究将涵盖从天气预报到金融建模，从工程设计到生物医学的广泛领域，旨在激发读者利用所学知识来理解和塑造周围的世界。本书将强调数学思维的重要性，以及如何通过严谨的逻辑和抽象的工具来解决具体问题。 《数学的宏伟疆域：微积分与几何的交响》旨在为读者提供一个全面而深入的视角，去理解微积分和几何学作为数学两大基石如何相互促进，共同构建了一个描述我们所处世界运行规律的强大理论框架。本书的目标是让读者体会到数学的普适性、优美性以及其在推动科学进步中的核心作用。

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这本书的魅力在于它的“留白”艺术。作者并没有事无巨细地交代所有事情的来龙去脉，而是巧妙地留下了许多空白，邀请读者主动参与到故事的建构中来。这种互动性极强的叙事方式，极大地增强了阅读的乐趣和代入感。那些开放式的结局和模糊不清的动机，非但没有让人感到困惑，反而激发了无尽的想象力和讨论的欲望。我常常在阅读间隙停下来，揣摩某个角色的眼神、某个场景的寓意，试图去拼凑出作者隐藏的意图。这种“你中有我，我中有你”的阅读体验，让这本书超越了一般的文学作品范畴，更像是一场与作者共同完成的智力冒险。它证明了真正伟大的作品，永远不会把所有秘密都和盘托出。

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我对这本书的结构和叙事节奏感到非常惊艳。它采用了一种非线性的叙事方式，看似跳跃，实则处处精妙地埋下了线索，将看似无关的片段巧妙地编织在一起，最终形成一个宏大而完整的图案。作者的文笔如同精准的外科手术刀，冷峻而有力，毫不拖泥带水，直击问题的核心。特别是中间那段关于“时间悖论”的探讨，逻辑严密到令人发指，将抽象的概念具象化，让读者能够清晰地抓住那些原本难以捉摸的思想脉络。那种层层递进、抽丝剥茧的阅读快感，是很多同类型作品难以企及的。而且，书中大量的隐喻和象征手法的运用，极大地拓展了文本的解读空间，每次翻阅都能挖掘出新的层次，这对于喜欢深度解读的读者来说，无疑是巨大的福音。

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这本书给我带来的最直接感受是强烈的画面感和情绪张力。作者的语言富有音乐性，读起来朗朗上口，仿佛在聆听一首精心编排的交响乐，时而激昂，时而低回，精准地调动着读者的情感共鸣。故事中的环境描写极其生动，无论是阴森的古堡，还是繁华的都市角落，都跃然纸上，让人身临其境。我特别喜欢那些充满画面感的小片段，它们不仅仅是背景的铺陈，更是推动情节和揭示人物内心世界的关键。故事的悬念设置得极其高明，总是在最恰当的时候抛出一个令人不安的问题，驱使着我一口气读完。虽然主题宏大，但作者始终没有忘记关注个体在时代洪流中的微小挣扎，这份对“人”的关注，使得整部作品充满了温度和力量。

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这本讲述了宏大叙事的作品，简直是思维的盛宴。作者以极其细腻的笔触，勾勒出了一幅跨越时空的画卷，人物的命运在历史的洪流中起伏跌宕，每一个转折都让人拍案叫绝。我尤其欣赏其中对人性复杂性的深刻剖析，它没有将角色简单地划分为善恶两端，而是展现了他们在极端环境下的挣扎与抉择。那些充满哲理的对话，字字珠玑，引发了我对生命意义、自由意志等终极问题的深思。读完合上书本的那一刻，仿佛经历了一场漫长而深刻的洗礼，世界观都有了微妙的重塑。书中对特定历史场景的还原达到了令人惊叹的程度，那种沉浸式的体验，让我仿佛能闻到旧日的气息，感受到彼时的喧嚣与宁静。这本书绝非快餐读物，它需要沉下心来，细细品味每一个隐喻和伏笔，每一次的重读都会有新的领悟，真正称得上是值得珍藏的经典之作。

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老实说，初次接触这本书的开篇，我有些被其晦涩的哲学思辨所震慑。它没有迎合主流的阅读习惯，反而用一种近乎学术研究的严谨态度，构建起一个全新的认知框架。但一旦跨过最初的门槛，你会发现作者的铺垫是何等用心良苦。这本书的知识密度极高，涉及了多个学科的交叉领域，需要读者具备一定的背景知识储备才能更好地吸收。它挑战了许多既有的观念，迫使我不得不重新审视自己对“真实”、“存在”的定义。这种智力上的高强度对抗，带来的满足感是无与伦比的。它不是提供答案，而是提供了一套精密的思考工具，帮助读者自己去探寻答案。对于追求深度思考和知识增益的读者而言，这本书无疑是一笔宝贵的财富。

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讲述了流形和经典向量微积分的严格表述。我最喜欢的流形书。习题分选择和问答，很有特点。Janich很擅长写教材。

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