Discrete Orthogonal Polynomials pdf epub mobi txt 電子書 下載 在線閱讀 2026

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出版者:Princeton Univ Pr

作者:Baik, J./ Kriecherbauer, T./ Mclaughlin, K. T. r./ Miller, P. D.

出品人:

頁數:170

译者:

出版時間:

價格:79.5

裝幀:HRD

isbn號碼:9780691127330

叢書系列:

圖書標籤:

• 正交多項式
• 離散正交多項式
• 特殊函數
• 數值分析
• 近似論
• 數學分析
• 高等數學
• 理論數學
• 應用數學
• 計算數學

離散正交多項式理論與應用新探 本書導言： 本書旨在深入探討一類在數學、物理、工程等多個領域具有廣泛應用價值的特殊函數——離散正交多項式（Discrete Orthogonal Polynomials）。我們將從最基礎的定義和性質齣發，逐步構建起一個嚴謹且富有洞察力的理論框架，最終展現其在實際問題中的強大解決能力。不同於側重於經典連續正交多項式（如勒讓德、切比雪夫等）的傳統教材，本書將焦點完全集中於那些在離散域或特定組閤結構上定義的正交多項式，例如Hahn、Krawtchouk、Meixner及其推廣形式。 第一部分：基礎理論的奠基 第一章：正交多項式的基本概念迴顧與離散化 本章首先對正交多項式的核心概念進行全麵迴顧，包括內積空間、正交性條件以及施圖姆-呂維爾（Sturm-Liouville）問題在離散情境下的對應。我們將詳細闡述如何在有限或可數無限點集上定義測度（或離散權重函數），從而構造齣具有正交性質的多項式序列。討論的重點將放在內積的離散形式及其對多項式係數的影響。 第二章：三項遞推關係與特徵方程 離散正交多項式的最顯著特徵之一是它們滿足一個具有固定係數的三項遞推關係。本章將詳盡推導這一關係，並探討其在構建多項式序列時的重要性。我們將分析遞推關係的係數與原始測度之間的深刻聯係，並利用該關係來導齣特徵方程，從而確定多項式的零點分布。此部分將引入雅可比矩陣（Jacobi Matrix）的概念，將其視為離散問題的譜理論工具。 第三章：離散化中的重要類係 我們將係統性地介紹並分析幾個最重要的離散正交多項式族係： 1. Hahn多項式 ($Q_n(x; alpha, eta, N)$): 它們是有限域上正交多項式的代錶，參數$alpha, eta$控製著區間的對稱性，而參數$N$則定義瞭域的大小。我們將探討其顯式錶達式和與二項式係數的關係。 2. Krawtchouk多項式 ($K_n(x; p, N)$): 與二項分布緊密相關，是概率論和編碼理論中的重要工具。本章將著重分析其在組閤結構（如漢明空間）中的應用背景。 3. Meixner多項式 ($M_n(x; eta, c)$): 與負二項分布相關聯，其遞推關係具有特殊的結構。我們將對比分析這三類多項式在正交性定義和漸進行為上的異同。 第二部分：高級性質與微分算子 第四章：差分算子與黎曼-李烏維爾型算子 連續正交多項式與微分方程相關聯，離散正交多項式則自然地與差分方程相關聯。本章將引入有限差分算子（前嚮、後嚮、中心差分），並構建齣描述這些多項式的差分算子。我們將探討這些算子如何扮演“離散的微分算子”的角色，並分析其作用於多項式時産生的特徵值問題。 第五章：正交多項式的零點分布與互作用 零點分布是分析多項式的關鍵。本章將運用韋爾定理（Wielandt's theorem）的離散版本，分析離散正交多項式的零點集閤的特性。特彆關注Hahn多項式的零點如何在有限區間內分布，以及相鄰多項式零點之間的交錯性質。此外，還將討論不同類型多項式零點之間的關係，例如它們如何通過特定變換相互聯係。 第六章：加權積分與求積公式 正交性最直接的應用在於數值積分。本章將詳細闡述高斯求積公式（Gaussian Quadrature）在離散情形下的推廣，即高斯-拉蓋爾（Gauss-Laguerre）或高斯-赫米特（Gauss-Hermite）在離散權重下的對應形式。我們將證明這些求積規則的精確性，並展示如何利用多項式的零點作為最佳的求積節點。這部分內容將為實際的數值計算提供堅實的理論基礎。 第三部分：應用領域與現代發展 第七章：組閤分析中的應用：編碼理論與圖論 離散正交多項式在處理離散對象時錶現齣天然的優勢。本章將聚焦於Krawtchouk多項式在糾錯碼（如Kerdock碼、Delsarte約束）設計中的核心作用。我們將解釋如何利用多項式的正交性來構造具有良好距離特性的碼字集閤，並探討它們在圖譜理論（Graph Spectra）分析中的應用，特彆是對於距離正則圖的特徵分析。 第八章：量子群與量子信息中的離散結構 隨著量子計算的發展，研究工作逐漸轉嚮有限維希爾伯特空間。本章將探討離散正交多項式在描述量子係統演化和量子態製備中的潛力。具體而言，我們將分析它們如何作為特定量子操作（如離散傅裏葉變換的推廣）的本徵函數，並在量子隨機遊走模型中扮演關鍵角色。 第九章：偏微分方程的離散求解與近似 本書的最後一章將展示離散正交多項式在近似理論中的應用。我們將討論如何使用這些多項式作為基函數來對涉及差分算子的偏微分方程（PDEs）進行譜方法求解。通過對邊界條件的適應性處理，展示如何用有限項的多項式展開來高效地逼近復雜係統的解，特彆是在半導體物理和粒子輸運模擬中的實例。 總結與展望： 本書通過嚴謹的數學推導和豐富的應用案例，為讀者構建瞭理解和掌握離散正交多項式理論的完整路徑。它不僅涵蓋瞭從三項遞推到現代量子信息應用的經典與前沿知識，更側重於展示離散結構帶來的獨特數學美感與實用價值。本書適閤於高等數學、理論物理、應用數學及信息科學領域的研究生和高年級本科生作為教材或參考書。

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