具體描述
深入探索數論的迷人世界：一部麵嚮初學者的全麵指南 圖書名稱：數論基礎：從整數到代數結構的精要探索 作者： 史密斯 (Smith)，約翰 (John) 教授 齣版社： 學術前沿齣版社 (Scholarly Frontier Press) 齣版日期： 2023 年鞦季 --- 圖書簡介 本書《數論基礎：從整數到代數結構的精要探索》旨在為初次接觸數論的學生提供一個全麵、嚴謹且富有洞察力的入門體驗。它精心構建瞭一個從基礎算術概念齣發，逐步深入到現代數論核心主題的學習路徑，強調概念的清晰闡釋與數學思維的培養。本書並非任何特定教科書的習題解答手冊，而是為那些希望獨立掌握數論原理、理解其內在聯係和深遠應用的讀者量身定製的獨立學習資源。 第一部分：整數的結構與算術的基石 本書的開篇部分將讀者帶迴到最基本的數學對象——整數。我們首先迴顧並嚴格證明瞭歐幾裏德的整除性質，這是數論大廈的第一個基石。 第一章：整除性與帶餘除法： 詳細闡述瞭帶餘除法（或稱歐幾裏得算法）的唯一性，並以此為基礎，深入探討瞭最大公約數（GCD）和最小公倍數（LCM）的性質。章節中將展示擴展歐幾裏得算法（Extended Euclidean Algorithm）的構造性證明及其在求解丟番圖方程中的關鍵作用。我們不會局限於簡單的計算，而是強調算法背後的代數意義。 第二章：素數的本質與分布： 質數（素數）是數論的靈魂。本章將以歐幾裏得關於素數無限性的經典證明為起點，隨後轉嚮更復雜的結構。我們將嚴謹探討算術基本定理（Fundamental Theorem of Arithmetic），即任何大於 1 的整數都可以唯一地分解為素數的乘積，並分析其在密碼學和其他應用中的基礎地位。此外，本書還將介紹初級的素數計數函數 $pi(x)$ 的概念，並探討其漸近行為，為後續更高級的素數定理做鋪墊。 第三章：同餘理論的建立： 同餘關係是數論中處理周期性問題的核心工具。本章將係統地介紹模 $n$ 算術（Modular Arithmetic）的代數結構。我們將定義同餘符號、模的性質，並重點研究綫性同餘方程 $ax equiv b pmod{m}$ 的解的存在條件與求解方法。對模運算性質的深入理解，是後續處理更復雜數論問題的關鍵。 第二部分：數論中的函數、方程與結構 在建立瞭同餘理論的基礎後，本書將擴展視野，探索與整數相關的關鍵函數以及在特定結構下的數論問題。 第四章：數論函數與乘性： 本章專注於研究與整數因子相關的函數。我們將詳細分析歐拉 $phi$ 函數（Euler's Totient Function），深入討論其計算公式和性質，並將其與模逆元（Multiplicative Inverse）的求解緊密聯係起來。此外，本書還將介紹和深入分析其他重要的乘性函數，如 $sigma_k(n)$（因子和函數）和 $ au(n)$（因子個數函數），並闡述乘性函數的性質是如何通過其在素數冪上的取值來確定的。 第五章：綫性丟番圖方程與中國剩餘定理： 在第一部分的基礎上，本章專門處理更高階的綫性不定方程。我們將展示如何利用擴展歐幾裏得算法係統地求解 $ax + by = c$ 形式的方程，並確定其通解結構。隨後，我們將引入中國剩餘定理（Chinese Remainder Theorem, CRT），並詳細說明它在解決具有多個模的同餘方程組時的威力，展示其在構造特定性質整數時的應用。 第六章：平方剩餘與二次互反律的初步： 探究平方數的同餘性質是數論研究中的一個重要分支。本章將引入二次同餘式 $x^2 equiv a pmod{p}$ 的概念，並定義勒讓德符號（Legendre Symbol）。我們將詳細解釋歐拉判彆準則（Euler's Criterion）及其意義。隨後，本書將引導讀者理解二次互反律（Law of Quadratic Reciprocity）的陳述，這是高斯對初等數論做齣的最重要貢獻之一，並展示其在判斷一個數是否為素數模的平方剩餘時的強大實用性。 第三部分：代數視角下的數論 本書的最後部分將從更抽象的代數角度審視數論概念，為讀者過渡到代數數論打下堅實的基礎。 第七章：歐幾裏得整環與唯一分解結構： 這一章將數論的概念提升到抽象代數的層麵。我們將引入環（Ring）的概念，特彆是 $mathbb{Z}$ 作為最基礎的整環。我們將探討在 $mathbb{Z}[i]$（高斯整數環）和 $mathbb{Z}[sqrt{-d}]$ 等更廣闊的結構中，歐幾裏得域、主理想域（PID）和唯一分解整環（UFD）的定義與性質。通過分析在這些環中，素數分解定理是否依然成立，讀者將深刻理解“素數”概念在不同代數背景下的微妙變化。 第八章：費馬大定理的背景與前奏： 雖然本書不會深入證明費馬大定理（Fermat's Last Theorem），但本章將迴顧與此相關的曆史背景，尤其是費馬小定理（Fermat's Little Theorem）的嚴謹證明及其在原根（Primitive Roots）概念中的應用。我們將探討模 $n$ 意義下的原根的存在條件，並展示它們如何與乘法群 $(mathbb{Z}/nmathbb{Z})^$ 的結構緊密相關。 --- 本書特色與學習目標 本書緻力於提供一種強調概念理解、邏輯嚴謹性和數學美感的教學方法。 1. 概念驅動，而非公式堆砌： 書中每一個定理和引理都伴隨著詳盡的動機解釋和構造性證明，確保讀者理解“為什麼”以及“如何”得到結論，而非僅僅記住結果。 2. 豐富的示例與練習集： 每個章節都包含大量的詳細解析示例，用於鞏固核心概念和展示解題技巧。書末的習題部分分為基礎鞏固題、進階應用題和挑戰性思考題，旨在全麵提升讀者的分析能力。 3. 結構化學習路徑： 內容從基礎的整數運算，平穩過渡到同餘理論，最終觸及代數結構，為希望未來主修純數學或應用數學（如密碼學）的學生構建瞭一個堅實且連貫的知識框架。 4. 強調證明的藝術： 數論是數學中最依賴邏輯推理的領域之一。本書通過細緻入微地展示每一步推理的依據，培養讀者清晰、準確地構建數學論證的能力。 《數論基礎》是獻給所有對數字背後隱藏規律充滿好奇心的學習者的理想讀物，它將引導您踏上一段嚴謹而又充滿發現樂趣的數學旅程。
作者簡介
目錄資訊
讀後感
評分
評分
評分
評分
評分
用戶評價
评分
评分
评分
评分
评分
相關圖書
本站所有內容均為互聯網搜索引擎提供的公開搜索信息，本站不存儲任何數據與內容，任何內容與數據均與本站無關，如有需要請聯繫相關搜索引擎包括但不限於百度，google,bing,sogou 等
© 2026 qciss.net All Rights Reserved. 小哈圖書下載中心 版权所有