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出版者:Brooks Cole

作者:James Stewart

出品人:

页数:801

译者:

出版时间:2006-03-21

价格:USD 142.95

装帧:Hardcover

isbn号码:9780495014423

丛书系列:

图书标签:

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《现代应用数学原理：从基础到前沿》 内容概述： 本书《现代应用数学原理：从基础到前沿》旨在为读者提供一个全面且深入的现代数学知识体系，特别侧重于那些在工程学、计算机科学、经济学以及自然科学领域具有广泛实际应用的核心概念和方法。本书并非一本传统的、仅聚焦于微积分单一领域的教科书，而是将高等数学的不同分支——包括线性代数、概率论与数理统计、离散数学以及部分数值分析——有机地结合起来，构建起一套解决复杂实际问题的数学工具箱。 全书分为六大部分，共计二十章，结构严谨，逻辑清晰，确保读者在打下坚实理论基础的同时，能够熟练掌握现代数学工具的实际操作能力。 --- 第一部分：线性代数与矩阵理论的基石 (The Foundations of Linear Algebra and Matrix Theory) 本部分是全书的起点，重点在于理解向量空间、线性变换以及矩阵运算在数据科学和工程建模中的核心地位。 第一章：向量空间与子空间 (Vector Spaces and Subspaces) 本章从向量的基本概念出发，深入探讨了二维和三维空间之外的抽象向量空间，如函数空间。详细阐述了线性组合、线性相关性、基和维度等核心概念。着重分析了 $mathbb{R}^n$ 上的标准结构以及更复杂的抽象代数结构的基础。 第二章：线性变换与矩阵表示 (Linear Transformations and Matrix Representations) 本章将几何直觉与代数结构紧密结合。深入研究线性变换的核空间（Kernel）和像空间（Image），并讨论了矩阵的秩与维度定理。重点讲解了如何通过改变基底来简化矩阵表示，为后续的特征值分解做铺垫。 第三章：特征值、特征向量与相似性 (Eigenvalues, Eigenvectors, and Similarity) 这是理解动态系统和稳定性分析的关键。本章详细推导了特征值的计算方法，并区分了代数重数与几何重数。内容涵盖对角化、若尔当标准形（Jordan Canonical Form）在不可对角化矩阵中的应用，以及对称矩阵的谱分解（Spectral Decomposition）在数据降维中的重要性。 第四章：内积空间与正交性 (Inner Product Spaces and Orthogonality) 本章引入了度量概念，讨论了内积、范数和角度。重点阐述了施密特正交化过程（Gram-Schmidt Orthogonalization），以及正交投影在最小二乘问题中的应用。矩阵部分则深入研究了正交矩阵和奇异值分解（SVD），强调SVD在信息检索和图像处理中的不可替代性。 --- 第二部分：概率论与数理统计 (Probability Theory and Mathematical Statistics) 本部分为理解随机现象、数据分析和机器学习奠定理论基础。 第五章：概率论基础 (Fundamentals of Probability Theory) 从集合论的角度严格定义了概率空间、随机事件和概率测度。详细分析了离散型和连续型随机变量的分布（如二项分布、泊松分布、正态分布、指数分布等）。着重讨论了联合分布、边际分布和条件概率，以及期望、方差和矩的计算。 第六章：随机变量的极限理论 (Limit Theorems for Random Variables) 本章探讨了从样本数据推断总体分布的理论依据。内容包括切比雪夫不等式、大数定律（Strong and Weak Laws of Large Numbers）和中心极限定理（Central Limit Theorem），这些是统计推断的理论支柱。 第七章：参数估计 (Parameter Estimation) 本章侧重于如何从观测数据中估计未知参数。详细对比了矩估计法（Method of Moments）和最大似然估计法（Maximum Likelihood Estimation, MLE），并讨论了估计量的性质，如无偏性、一致性和有效性。 第八章：统计假设检验 (Statistical Hypothesis Testing) 本章教授如何根据数据做出科学决策。系统介绍了零假设与备择假设的构建，I类错误与II类错误，以及功效函数的概念。重点讲解了 $t$ 检验、 $chi^2$ 检验（卡方检验）和 $F$ 检验在实际应用中的步骤和解释。 --- 第三部分：离散数学与结构 (Discrete Mathematics and Structures) 本部分是算法设计、网络理论和逻辑推理的基础。 第九章：集合论与逻辑 (Set Theory and Logic) 从集合的运算、关系到函数，回顾了数学的严格基础。深入讲解了命题逻辑和一阶谓词逻辑，包括推理规则和证明方法，为后续的算法正确性验证做准备。 第十章：图论基础 (Fundamentals of Graph Theory) 本章是网络科学的核心。定义了图、子图、路径和连通性。详细研究了欧拉路径、哈密顿回路、树结构（Trees）及其在最小生成树算法（如Prim和Kruskal）中的应用。 第十一章：组合数学与计数原理 (Combinatorics and Counting Principles) 专注于系统地计数问题。内容包括排列、组合、鸽巢原理、容斥原理。并引入生成函数（Generating Functions）和递推关系（Recurrence Relations）来解决复杂计数问题。 --- 第四部分：数值分析方法 (Numerical Analysis Methods) 本部分关注如何利用计算工具近似求解解析上难以处理的问题。 第十二章：非线性方程的数值求解 (Numerical Solutions for Nonlinear Equations) 探讨牛顿法（Newton's Method）的收敛性分析，以及割线法（Secant Method）和不动点迭代（Fixed-Point Iteration）的实际应用。 第十三章：插值与逼近 (Interpolation and Approximation) 研究如何用简单函数（如多项式）来近似复杂函数。详细讲解了拉格朗日插值、牛顿插值多项式以及分段插值（如样条插值）的构建与误差分析。 第十四章：数值积分 (Numerical Integration) 超越了牛顿-莱布尼茨公式，重点介绍复合梯形法则、辛普森法则以及高斯求积法（Gaussian Quadrature）的原理和计算效率比较。 --- 第五部分：多元微积分与向量分析 (Multivariable Calculus and Vector Analysis) 虽然不专注于基础微积分，但本部分将微积分概念扩展到高维空间，这是物理建模和场论的基础。 第十五章：偏导数与方向导数 (Partial Derivatives and Directional Derivatives) 系统阐述了多变量函数的链式法则，梯度向量的几何意义，以及二阶偏导数在确定极值（Hessian 矩阵）中的作用。 第十六章：多重积分与坐标变换 (Multiple Integrals and Coordinate Transformations) 详细讨论了二重积分和三重积分在笛卡尔、柱面和球面坐标系下的计算，重点在于雅可比行列式（Jacobian Determinant）在改变积分区域和变量时的应用。 第十七章：向量场与积分定理 (Vector Fields and Integral Theorems) 本章连接了微分与积分。深入探讨了线积分和面积分，并全面讲解了格林定理（Green's Theorem）、斯托克斯定理（Stokes' Theorem）和高斯散度定理（Divergence Theorem），这些是连续介质力学和电磁学的基础工具。 --- 第六部分：应用与建模导论 (Introduction to Applications and Modeling) 本部分旨在将前述知识应用于解决实际的微分方程问题。 第十八章：常微分方程基础 (Fundamentals of Ordinary Differential Equations, ODEs) 覆盖一阶和二阶线性常微分方程的解析解法，包括常数系数齐次与非齐次方程的求解。引入了拉普拉斯变换（Laplace Transform）作为求解初始值问题的强有力工具。 第十九章：偏微分方程简介 (Introduction to Partial Differential Equations, PDEs) 简要介绍热传导方程、波动方程和拉普拉斯方程的物理背景，并展示分离变量法（Separation of Variables）在求解这些方程中的基本思想和步骤。 第二十章：数学建模的流程与案例 (The Process and Case Studies of Mathematical Modeling) 本章总结全书方法论，通过具体的工程、生物或金融案例，引导读者理解如何将现实问题抽象为上述数学模型，并运用数值或解析方法进行求解和验证。 --- 本书特色： 应用驱动： 每章均配有丰富的、源自真实世界的案例分析，展示数学工具的实际效力。 深度与广度兼顾： 既提供了扎实的理论推导，又避免了过度抽象，确保读者能够掌握工程所需的实用技巧。 跨学科整合： 线性代数与统计、离散结构与数值方法之间的联系被清晰地勾勒出来，体现了现代数学的统一性。 计算辅助： 鼓励读者使用计算软件（如Python/MATLAB）辅助理解和验证复杂计算，但强调对底层原理的深刻理解。

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