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出版者:Kaplan

作者:Newman, Donald

出品人:

页数:278

译者:

出版时间:2007-7

价格:$ 17.95

装帧:Pap

isbn号码:9781419518164

丛书系列:

图书标签:

• College Algebra
• Algebra
• Mathematics
• Exam
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• Textbook
• Calculus Preparation
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• Test Preparation

《高等代数入门：概念、方法与应用》 内容简介 《高等代数入门：概念、方法与应用》旨在为读者提供一个扎实且全面的高等代数基础，涵盖从线性方程组的解法到向量空间、线性变换、特征值与特征向量等核心概念。本书的编写遵循循序渐进的原则，力求在保证数学严谨性的同时，注重概念的清晰阐释与实际应用的联系，使初学者能够顺利掌握这一基础而强大的数学工具。 第一部分：基础代数与数域 本书伊始，首先回顾了复习了必要的基础代数知识，包括多项式的代数运算、因式分解以及根的性质。随后，深入探讨了数域的概念，特别是复数域 $mathbb{C}$ 的构建及其代数结构。我们详细介绍了高斯平面上的几何解释，以及复数乘法和除法的代数和几何意义。 第二章：线性方程组与矩阵理论 线性方程组是高等代数的基石。本章系统介绍了线性方程组的表示方法（增广矩阵形式），并详细阐述了求解线性方程组的高斯消元法和高斯-约旦消元法。我们深入分析了矩阵的行阶梯形（Row Echelon Form）和简化行阶梯形（Reduced Row Echelon Form），并基于此定义了矩阵的秩（Rank）和零空间（Null Space）。 矩阵代数是本章的另一重点。我们定义了矩阵的加法、数乘、乘法，并探讨了矩阵乘法的结合律和分配律。特别强调了矩阵的逆的定义、性质以及求解逆矩阵的伴随矩阵法和通过初等行变换求解的方法。本章还引入了行列式（Determinant）的概念，阐述了如何计算高阶行列式（通过代数余子式展开），并证明了行列式的重要性质，如 $det(AB) = det(A)det(B)$。拉普拉斯展开定理和克拉默法则（Cramer's Rule）被作为求解线性方程组的有效工具加以介绍。 第三部分：向量空间的概念 本部分将读者从具体的矩阵和向量引入到抽象的向量空间（Vector Space）这一核心概念。我们从最熟悉的欧几里得空间 $mathbb{R}^n$ 出发，给出向量空间的严格定义，包括封闭性、加法结合律、零向量的存在性等八条公理。接着，我们讨论了子空间（Subspace）的判断准则。 线性组合、线性相关性与基是理解向量空间的结构的关键。本章详细解释了如何判断一组向量是否线性相关，并由此引出基（Basis）的概念。我们证明了任何向量空间的基都具有相同的基数（即维度，Dimension），并探讨了有限维向量空间的性质。本章还介绍了坐标变换和坐标系的概念，展示了如何通过选择不同的基来改变向量的表示形式。 第四部分：线性变换与矩阵表示 线性变换（Linear Transformation）是连接不同向量空间的桥梁。本章定义了线性变换的性质，包括对加法和标量乘法的保持性。我们深入探讨了线性变换的核空间（Kernel，或零空间）和像空间（Image，或值域），并阐明了“秩-零化度定理”（Rank-Nullity Theorem）。 一个关键的进展是将抽象的线性变换转化为具体的矩阵运算。我们详细展示了如何根据选定的基构建线性变换的矩阵表示。本章还讨论了矩阵相似性（Similarity）的概念，解释了相似矩阵如何描述同一个线性变换在不同基下的不同表示。 第五部分：特征值与特征向量 特征值（Eigenvalue）和特征向量（Eigenvector）是分析线性系统动态行为的关键工具。本章定义了非零向量 $v$ 满足 $Tv = lambda v$ 的条件，其中 $lambda$ 是特征值， $v$ 是对应的特征向量。我们演示了如何通过求解特征方程 $det(A - lambda I) = 0$ 来求出特征值。 随后，我们讨论了特征值的代数重数和几何重数。本章的核心内容之一是对角化（Diagonalization）。我们详细阐述了何时一个矩阵可以被对角化，以及对角化矩阵在计算矩阵幂次和求解线性递推关系中的强大应用。 第六部分：内积空间与正交性 为了引入几何概念，本章引入了内积（Inner Product）的概念，它允许我们在抽象的向量空间中定义长度和角度。在 $mathbb{R}^n$ 中，我们使用点积（Dot Product）。 正交性是本章的重点。我们定义了正交向量和正交基。施密特正交化过程（Gram-Schmidt Orthogonalization Process）被详细介绍，它提供了一种从任意基构造正交基或标准正交基的方法。最后，我们探讨了正交投影在最小二乘问题中的应用，并简要介绍了对称矩阵的性质及其谱定理（Spectral Theorem）。 本书特色 本书的结构清晰，理论推导详尽，并穿插了大量的例题和习题，以巩固读者的理解。我们避免了过于偏离核心主题的抽象探讨，而是专注于那些在微积分、微分方程、线性规划以及工程科学中最常被用到的核心工具。每章末尾都设有“概念回顾与应用展望”部分，帮助读者系统梳理知识点并理解其在更广阔数学领域的定位。本书适合作为理工科、经济学等专业学生高等代数课程的教材或自学参考书。

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