Infinite Dimensional Analysis pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:Springer Verlag

作者:Aliprantis, Charalambos D./ Border, Kim C.

出品人:

页数:703

译者:

出版时间:

价格:3558.00元

装帧:HRD

isbn号码:9783540295860

丛书系列:

图书标签:

• 泛函分析
• 无限维空间
• 算子理论
• 谱理论
• 巴拿赫空间
• 希尔伯特空间
• 分布理论
• 偏微分方程
• 数学分析
• 拓扑向量空间

好的，这是一份关于一本名为《无限维分析》的图书的详细介绍，内容完全围绕该书的潜在主题展开，不包含任何关于人工智能生成或构思的痕迹。 --- 《无限维分析》：超越有限的数学疆界 第一部分：背景与核心概念的奠基 《无限维分析》是一部深入探讨数学分析在无限维空间中应用的权威著作。本书旨在引导读者从熟悉的有限维欧几里得空间（$mathbb{R}^n$）的直观概念出发，逐步过渡到更抽象、更具挑战性的无限维结构，如希尔伯特空间、巴拿赫空间以及更一般的拓扑向量空间。 本书伊始，便着力于建立坚实的基础。第一章聚焦于“距离”与“结构”的本质：度量空间的引入与拓扑学的基本概念。在这里，我们探讨了开集、闭集、紧致性、连通性的概念在无限维背景下的微妙变化，特别是 Heine-Borel 定理在无限维空间中失效的原因及其替代方案，例如可数紧致集和序列紧致集。 第二章是本书的基石——赋范线性空间与内积空间。我们将详细分析巴拿赫空间（完备的赋范空间）和希尔伯特空间（完备的内积空间）的定义、构造及其关键性质。重点探讨了Riesz 投影定理和Hahn-Banach 分离定理，这些定理是处理无限维函数空间的基础工具，它们揭示了线性泛函在这些空间中的存在性和性质。 在第三章中，我们将讨论无限维空间中的收敛性与拓扑。这包括强收敛（范数收敛）、弱收敛以及更精细的 $sigma$-弱收敛。对这些不同收敛模式的深入理解，是后续处理微分运算和积分理论的前提。我们引入了Banach-Steinhaus 均匀有界性原理（也称为一致有界性原理）和开映射定理，它们是连接连续线性算子理论的关键桥梁。 第二部分：算子理论与谱分析 本书的核心部分，从第四章开始，全面转向无限维空间中的线性算子。有限维空间中所有线性算子都可以用矩阵表示，但在无限维情境下，这不再可能。 第四章详细阐述了有界线性算子的性质。我们引入了算子范数，并探讨了这些算子在巴拿赫空间之间构成的空间结构，特别是有界线性算子空间的完备性。在这里，对角化的概念被推广到谱理论的高度。 第五章：紧算子与Fredholm理论是本书的亮点之一。紧算子（或称完全连续算子）在某种程度上模拟了有限维矩阵的行为。我们深入分析了 Riesz 的结构定理，该定理表明，紧算子与有限秩算子的扰动之间的关系。在此基础上，我们构建了Fredholm 分支和Fredholm 指标，这对于理解微分方程的解的存在性和唯一性至关重要。 第六章全面铺开谱理论。对于一般的有界线性算子 $T$ 在希尔伯特空间上的谱 $sigma(T)$ 的定义、性质以及分解，成为本章的重点。我们对比了紧算子谱与一般有界算子谱的差异，并详细讨论了Gelfand 谱理论在 $C^$-代数中的应用，尽管本书主要侧重于函数空间，但该理论的洞察力是理解谱结构的不可或缺的一部分。我们推导了求解非齐次方程 $T x = y$ 的条件，这直接依赖于 $y$ 是否落在 $T$ 的值域内，以及 $lambda=0$ 是否在谱 $sigma(T)$ 中。 第三部分：测度、积分与变分法 无限维分析不仅关乎拓扑和算子，还与“积分”的概念紧密相连。第七章处理测度论的推广。在无限维空间中，黎曼积分的概念迅速瓦解。本书将焦点集中于概率论和随机过程的数学基础，讨论了随机变量作为可测空间到希尔伯特空间的映射，以及相关的Wiener 测度的初步概念（尽管不深入随机分析本身，但提供了必要的测度背景）。我们探讨了积分算子的连续性，特别是 $L^p$ 空间上的积分算子。 第八章深入探讨了变分法在无限维空间中的应用。这涉及对泛函的变分（Gâteaux 导数和 Fréchet 导数）。我们详细研究了泛函的梯度在希尔伯特空间中的表示，以及黎卡提方程（Riccati equation）在无限维背景下的推广。本书强调了能量泛函的最小化，这是物理学和最优控制论的基础。 第九章：Sobolev 空间与弱解。在处理偏微分方程时，要求解在经典意义下可微往往过于苛刻。本书引入了 Sobolev 空间 $W^{k,p}(Omega)$，它们是函数及其低阶导数的混合空间，是处理弱解理论的天然场所。我们详细分析了Sobolev 不等式在无限维函数空间中的推广形式，以及 Rellich-Kondrachov 紧性定理在描述函数序列行为中的关键作用。这为理解椭圆型方程的弱解理论提供了必要的分析工具。 第四部分：推广与前沿展望 第十章将分析框架扩展到更一般的非线性领域。我们探讨了巴拿赫不动点定理在无限维空间中的应用，特别是求解常微分方程初值问题时的局部存在性与唯一性。接着，本书引入了非线性泛函分析的基本工具，包括变分不等式和凸分析。对凸集、支撑函数和 Fenchel 对偶的讨论，为理解约束优化问题提供了坚实的数学基础。 结论部分，本书简要概述了无限维分析在现代物理学（如量子场论中的路径积分）和工程学（如无限自由度系统的控制）中的地位，强调了本书提供的工具集是理解这些高级领域所必需的。 《无限维分析》并非一部轻松的读物，它需要读者具备扎实的实分析和线性代数基础。然而，对于渴望跨越有限维边界，探索现代数学和理论物理核心结构的学者、研究人员和高级学生而言，本书无疑是一份不可或缺的指南。它系统地构建了从点到函数空间、从有限矩阵到无穷算子谱的完整数学图景。

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