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出版者:Addison-Wesley

作者:Bittinger, Marvin L./ Beecher, Judith A./ Ellenbogen, David J./ Penna, Judith A.

出品人:

页数:1056

译者:

出版时间:2005-3

价格:$ 185.32

装帧:HRD

isbn号码:9780321292667

丛书系列:

图书标签:

• 数学
• 预微积分
• 高等数学
• 函数
• 三角函数
• 代数
• 解析几何
• 指数与对数
• 数列与级数
• 极限

基础数学原理与应用：深入探索代数、几何与函数的世界 本书旨在为读者提供一个全面且深入的数学基础知识体系，为后续高等数学、微积分、线性代数以及更高级的科学与工程学科的学习打下坚实的基础。我们聚焦于代数结构、几何空间、函数分析以及它们在现实世界中的应用，力求在概念的严谨性与应用的直观性之间取得完美的平衡。 全书内容划分为六个主要部分，每个部分都由若干章节构成，层层递进，构建起一个完整的知识框架。 --- 第一部分：代数基础与数系扩展 (Foundations of Algebra and Number Systems) 本部分着重于巩固和深化读者对代数基本运算的理解，并引入更复杂的数系结构。 第一章：数系的精炼与拓展 本章从自然数、整数、有理数出发，系统地引入无理数（如 $sqrt{2}$ 的证明）和复数（Complex Numbers）。复数部分将详细讲解复平面的几何意义、代数运算（加减乘除、乘方与开方），以及欧拉公式 $e^{i heta} = cos heta + isin heta$ 的推导及其初步应用。我们将探讨复数在信号处理和电路分析中的基础作用。 第二章：多项式的深度解析 本章超越了简单的因式分解。我们深入研究多项式环的概念，讨论带余除法在多项式中的应用，重点讲解因子定理与余数定理。高阶多项式的求解将采用数值逼近方法（如牛顿法）的引入，而不是局限于传统的公式求解。此外，多项式的有理根定理和上下界估计将作为有效寻找实数根的关键工具被详细阐述。 第三章：方程与不等式的高级求解技术 本章将超越一元二次方程。我们将处理涉及绝对值、分段函数以及参数的复杂方程组。不等式部分将侧重于区间分析法和拉格朗日乘数法（仅作初步概念引入，侧重于理解约束条件下的极值思想）。对同解变形的理解将贯穿本章始终，确保学生掌握每一步转换的合理性。 --- 第二部分：函数理论的核心 (The Core of Function Theory) 函数是数学分析的基石。本部分将以函数为中心，详细考察其定义、性质、图像绘制和变换。 第四章：函数的本质与基本性质 严格定义函数的定义域、值域、奇偶性、周期性。本章的重点在于理解函数的单调性与反函数的存在条件，并通过严格的数学语言描述函数的“输入-输出”关系。反函数的求法将通过映射关系的视角进行讲解。 第五章：基本函数族详解 我们将系统分析几大基本函数族： 1. 幂函数与多项式函数：侧重于图像的形状变化（如 $y=x^n$，$n$ 为负整数或分数）。 2. 指数函数与对数函数：自然对数 $e$ 的定义（通过极限引入，而非简单定义为常数），以及指数增长与衰减模型在人口、金融中的实际建模。 3. 三角函数：本章将聚焦于三角函数的周期性、对称性及其在周期性现象建模中的应用，为几何应用做铺垫。 第六章：函数的运算与变换 函数的复合、加减乘除运算的定义。图像变换（平移、伸缩、反射）将通过函数表达式的代数操作来严格推导其几何效果，而非仅仅依赖视觉直觉。例如，如何通过对 $f(x)$ 操作得到 $a cdot f(b(x-c)) + d$ 的图像。 --- 第三部分：超越平面：几何与三角学的融合 (Geometry Beyond the Plane) 本部分将代数工具应用于几何问题，特别是角度、边长与空间关系。 第七章：平面三角学：从度量到函数 本章重建三角函数。从任意角（包括负角和大于 $360^circ$ 的角）的三角函数定义出发，详细推导同角三角函数的基本关系式。重点剖析和差化积、倍角公式、半角公式的几何推导过程。通过正弦定理和余弦定理，解决任意三角形的边角求解问题。 第八章：三角恒等式与方程求解 本章侧重于三角表达式的化简与证明。识别和运用各种恒等式将是核心技能。三角方程的解集通常是无限的，本章将教授如何表示通解，并结合具体问题给出特定区间内的特解。 第九章：解析几何的强化 本章回顾并深化对直线、圆、椭圆、双曲线和抛物线的解析描述。我们将着重于圆锥曲线的标准方程推导，以及如何通过二次型方程（如 $Ax^2 + Bxy + Cy^2 + Dx + Ey + F = 0$）来识别和分析其几何形状，为线性代数中的二次型奠定直观基础。 --- 第四部分：序列、级数与极限的初探 (Sequences, Series, and Introduction to Limits) 为微积分做准备，本部分引入“无穷”的概念。 第十章：数列的构造与性质 定义数列，区分等差数列和等比数列。着重于通过通项公式和递推关系来分析数列的增长趋势。对数列求和（如裂项相消法）的技巧将被详细讲解。 第十一章：级数收敛性的初步判断 介绍无穷级数的概念。探讨调和级数的发散性。引入比较判别法和比值判别法（达朗贝尔判别法）来初步判断级数是否收敛，避免学生直接接触到复杂的 $epsilon-N$ 定义，但要建立起“无穷项之和是否有限”的直观概念。 第十二章：极限思想的直观构建 本章侧重于数列极限的直观理解——“趋近”的概念。通过构造数列的图像来观察其界限。虽然不进行严格的 $epsilon-delta$ 论证，但会用大量例子说明极限存在和极限不存在的情况，特别是处理涉及 $infty/infty$ 和 $1^infty$ 等不定型的代数表达式。 --- 第五部分：统计与概率的基础模型 (Foundations of Statistics and Probability) 数学的应用不仅限于确定性系统，也扩展到随机事件的分析。 第十三章：概率论的基本要素 介绍随机试验、样本空间、事件的概念。精确定义古典概型和几何概型。重点分析排列组合在计算复杂事件概率中的应用，并讨论条件概率与事件的独立性。 第十四章：描述性统计与数据分析 如何通过集中趋势（平均数、中位数、众数）和离散程度（方差、标准差）来描述一组数据。学习如何绘制直方图、茎叶图，并理解数据分布的形状对统计推断的意义。 --- 第六部分：数学建模与离散结构 (Mathematical Modeling and Discrete Structures) 本部分将数学知识与实际问题相结合，培养模型的构建能力。 第十五章：线性系统的代数表示与求解 本章重点回顾二元和三元线性方程组的求解。使用矩阵表示法（不深入矩阵代数，仅作表示工具），着重于通过高斯消元法（或增广矩阵）的步骤，清晰展示如何确定方程组的唯一解、无穷多解或无解情况，强调其在资源分配等问题中的直接应用。 第十六章：实际问题中的优化与建模 本章整合之前学到的知识，通过几个实际案例展示数学建模的过程： 1. 增长与衰减模型：应用指数函数解决复利或放射性衰变问题。 2. 周期模型：利用三角函数描述潮汐或季节变化。 3. 约束优化：通过不等式和函数的图像交汇点，寻找满足多个条件的最佳方案（初步的线性规划思想）。 全书辅以大量的图表和实际问题案例，确保读者不仅掌握计算技巧，更能理解数学概念背后的逻辑结构和它们在各个学科领域的普适性。

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