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出版者:John Wiley & Sons Inc

作者:Herman, Eugene A./ Pepe, Michael D./ Schulz, Eric P.

出品人:

页数:550

译者:

出版时间:2005-3

价格:$ 229.39

装帧:HRD

isbn号码:9780471682998

丛书系列:

图书标签:

线性代数
可视化
数学
高等教育
计算机图形学
机器学习
数据科学
向量
矩阵
几何

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具体描述

Following an innovative approach to learning, this text integrates paper and pencil skill building and the theoretical development of ideas with geometric exploration and conceptual understanding. *Tutorials and traditional text. Visual Linear Algebra covers the topics in a standard one-semester introductory linear algebra course in forty-seven sections arranged in eight chapters. In each chapter, some sections are written in a traditional textbook style and some are tutorials designed to be worked through using either Maple or Mathematica. *About the tutorials Each tutorial is a self-contained treatment of a core topic or application of linear algebra that a student can work through with minimal assistance from an instructor. The thirty tutorials are provided on the accompanying CD both as Maple worksheets and as Mathematica notebooks. They also appear in print as sections of the textbook. *Geometry is used extensively to help students develop their intuition about the concepts of linear algebra. *Applications. Students benefit greatly from working through an application, if the application captures their interest and the materials give them substantial activities that yield worthwhile results. Ten carefully selected applications have been developed and an entire tutorial is devoted to each of them. *Active Learning. To encourage students to be active learners, the tutorials have been designed to engage and retain their interest. The exercises, demonstrations, explorations, visualizations, and animations are designed to stimulate studentsa interest, encourage them to think clearly about the mathematics they are working through, and help them check their comprehension.

好的，这是一份为您构思的图书简介，主题为《Visual Linear Algebra》的替代性书籍，侧重于描述其独特视角和内容，避免提及您提供的书名，并力求自然流畅： --- 《几何直觉与代数思维：解构线性空间的视觉之旅》书名：几何直觉与代数思维：解构线性空间的视觉之旅作者： [此处可填入虚构作者姓名] 出版社： [此处可填入虚构出版社名称] 内容简介：本书旨在为读者提供一个崭新的、直观的视角来理解线性代数这一核心数学分支。我们深知，许多学习者在面对复杂的矩阵运算和抽象的向量空间定义时常常感到困惑，难以将书本上的符号与实际几何意义联系起来。因此，本书的核心理念是将抽象的代数结构“可视化”，通过大量的几何图像、动态演示的辅助说明，以及精心设计的实例，引导读者建立起深厚的空间直觉。第一部分：向量与空间的基石——可视化构建本书伊始，我们摒弃了传统的、纯粹基于方程的介绍方式，而是从二维和三维空间中的“箭头”——向量——入手。读者将首先直观地理解向量的加法、数乘如何对应于箭头的平移与缩放。我们引入了“自由向量”与“位置向量”的区别，并强调向量是描述方向和大小的实体，而非仅仅是数字的排列。随后，我们深入探讨了线性组合。通过在二维平面上绘制不同方向的向量，读者可以清晰地看到，任意一个向量都可以由基向量的“拉伸”和“组合”来形成。这种几何构建法自然而然地引出了张成空间（Span）的概念。我们将张成空间描绘为一条直线、一个平面或整个空间，使其意义不再仅仅是线性方程组的解集，而是一个可触及的几何区域。线性无关性的讨论也采用了视觉论证。两个向量何时是线性相关的？答案是当且仅当它们共线。三个向量何时是线性相关的？当它们共面。这种直观的判断标准，比单纯检查系数是否满足特定条件要深刻得多。第二部分：变换的艺术——矩阵的几何内涵线性代数的核心魅力在于线性变换。本书的重点之一便是将 $n imes n$ 矩阵视为作用于空间中所有向量的“操作符”。我们不再仅仅将矩阵视为数字的表格，而是将其解读为一种对空间的重塑工具——旋转、拉伸、投影或剪切。通过详细解析 $2 imes 2$ 矩阵作用于单位圆或单位正方形后的效果，读者可以直观地看到矩阵乘法如何累积变换。例如，一个旋转矩阵后接一个缩放矩阵，其效果与单一矩阵的乘积是完全一致的几何动作。我们引入了特征值与特征向量的概念，并非通过复杂的行列式计算，而是通过提问：“这个变换作用在哪些向量上，方向保持不变？”特征向量便是那些在变换下仅发生拉伸或收缩的特殊方向，特征值则量化了这种拉伸或收缩的程度。这为理解系统动力学和数据降维提供了强大的直觉基础。第三部分：分解与重构——理解数据的内在结构本书的后半部分着眼于更高级的主题，但依旧保持其可视化导向。我们详细介绍了矩阵的四种基本子空间（列空间、零空间、行空间、左零空间），并以图形方式展示它们之间的正交关系。理解零空间（Null Space）为“被压扁”的向量集合，而列空间（Column Space）为变换后的“可到达”的终点集，极大地深化了对线性方程组解的理解。正交性是本书的另一大支柱。我们强调了正交基在简化计算和稳定数值分析中的关键作用。从Gram-Schmidt正交化过程的几何步骤——不断地将向量投影到已有的子空间上并减去该投影分量——读者可以清晰地看到如何系统地从任意一组基中构建出最优的、相互垂直的基。这直接导向了QR分解的几何意义。最小二乘法，作为处理超定系统（数据点过多）的关键工具，也被赋予了清晰的几何解释：它寻找的是原向量在目标子空间上的最佳“投影点”，即误差最小的点。第四部分：多维空间的拓扑与张量视角（进阶）对于寻求更深层次理解的读者，本书提供了对高维空间的直观桥梁。我们运用SVD（奇异值分解）作为连接矩阵分解、数据压缩和主成分分析（PCA）的桥梁。SVD被呈现为将任意线性变换分解为三个基本几何操作的“黄金标准”：旋转、缩放（由奇异值控制）和再旋转。这揭示了任何复杂的线性映射背后都蕴含着高度有序的几何结构。最后，我们简要触及了张量的概念，将其定位为多维数组，是多线性映射的自然推广。通过低阶张量的具体例子，我们展示了张量如何描述更复杂的物理和统计关系，从而为深入学习微分几何、机器学习的张量网络等前沿领域奠定坚实的直觉基础。本书特色：强调直觉：避免过早引入繁琐的证明，优先展示几何直观。丰富的视觉材料：大量定制的图表和交互式概念（在线资源辅助），将抽象代数转化为空间想象。应用驱动：每一个新概念的引入都紧密关联于工程、数据科学或物理中的实际应用场景。本书适合所有对数学有热情，渴望超越符号运算，真正理解线性代数“为什么”和“如何”运作的自学者、本科生以及需要重温基础的专业人士。它不是一本求解题目的速成指南，而是一段探索空间真谛的视觉旅程。