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出版者:Cambridge Univ Pr

作者:Kaye, Richard

出品人:

页数:204

译者:

出版时间:2007-7

价格:415.00元

装帧:Pap

isbn号码:9780521708777

丛书系列:

图书标签:

• 数学逻辑
• 逻辑学
• 数学
• 集合论
• 命题逻辑
• 谓词逻辑
• 模型论
• 证明论
• 递归论
• 计算理论

好的，这是一份关于一本名为《The Mathematics of Logic》的图书的详细简介，该简介旨在描述一本不包含您所提到的特定主题的图书内容，但保持专业性和详尽性，字数约1500字。 --- 《集合论与模型理论导论：严谨性的基石》 （An Introduction to Set Theory and Model Theory: Foundations of Rigor） 书籍概述 《集合论与模型理论导论：严谨性的基石》是一本旨在为高等数学、理论计算机科学和哲学逻辑领域的学生与研究人员提供坚实基础的权威性著作。本书的核心目标是系统地阐述现代数学赖以建立的两个核心支柱——朴素集合论及其严格形式化——以及如何利用这些工具来构建和分析数学模型。 本书采取一种自下而上的教学方法，从直观的集合概念出发，逐步过渡到公理化集合论的严格框架，随后深入探讨逻辑与模型之间的桥梁——模型理论。我们力求在保持数学严谨性的同时，兼顾教学的清晰度和可理解性，使读者能够深入掌握数学证明的本质，并学会如何批判性地评估数学理论的完备性与一致性。 第一部分：朴素集合论与基础概念 本部分为后续的公理化结构奠定基础，侧重于构建直观的、基于自然语言和初步数学实践的集合概念。 第1章：集合的直观概念与基本运算 本章首先引入“集合”作为数学对象的基本载体。我们探讨了集合的直观理解（如欧拉图和文氏图的应用），区分了“元素”与“集合”的关系。随后，详细讨论了集合的基本操作：并集、交集、差集、补集、笛卡尔积以及幂集。着重分析了有限集与无限集的初步区别，并引入了容斥原理作为有限集合计数的核心工具。此外，本章还探讨了集合的表示法，包括列表法、性质描述法以及集合的家族（Families of Sets）。 第2章：函数、关系与序结构 本章聚焦于集合之间的结构化联系。关系被定义为笛卡尔积的子集，并详细分类为自反关系、对称关系、反对称关系和传递关系。在此基础上，我们定义了等价关系及其对集合的划分（商集）。对于函数，我们不仅讨论了单射、满射和双射的性质，还深入探讨了函数的复合、逆函数以及它们在结构保持方面的作用。序关系（偏序和全序）是本章的重点，特别是全序关系如何建立线性的概念。 第3章：初步的无限：可数性与不可数性 在进入严格的公理化之前，本章引入了基数（Cardinality）的概念，并首次接触到康托尔（Cantor）的对角线论证。我们详细证明了自然数集 $mathbb{N}$ 的可数性，并证明了整数集 $mathbb{Z}$ 和有理数集 $mathbb{Q}$ 与 $mathbb{N}$ 具有相同的基数。本章的另一核心是对不可数性的严谨证明，特别是实数集 $mathbb{R}$ 的不可数性，这为后续的公理化集合论提供了明确的动机。 第二部分：公理化集合论：ZFC 系统的构建 本部分将前一部分的直观集合概念提升到严格的公理体系，侧重于Zermelo-Fraenkel 集合论（ZFC）。 第4章：公理化集合论的必要性与ZFC公理体系 本章首先讨论了朴素集合论（如罗素悖论）中暴露出的内在矛盾，从而阐述了公理化系统的必要性。我们系统地介绍了 ZFC 的九条核心公理：外延性公理、空集公理、配对公理、并集公理、分离（或称子集存在）公理、幂集公理、无穷公理、替换公理模式以及正则性（或称基础）公理。每条公理都配有详细的直观解释和数学应用实例。 第5章：构造性与替换公理 本章深入研究了 ZFC 中两个最强大的构造性公理：替换公理模式和分离公理模式。我们将详细展示如何利用替换公理来构造出“良定义”的函数，以及如何确保某些复杂集合（如由递归定义产生的集合）的存在性。正则性公理在本章得到重点分析，因为它排除了“非良态”的集合结构，例如循环或无限下降链。 第6章：选择公理（AC）及其等价命题 选择公理（Axiom of Choice, AC）被单独列为一章进行深入探讨。本章首先明确阐述了 AC 的直观意义——从每个非空集合族中选取一个代表元。随后，我们严格证明了几个关键的等价命题，包括：良序定理（Well-Ordering Theorem）和良序定理（Zorn’s Lemma）。我们讨论了在 ZF（不含 AC）和 ZFC 中的数学后果，并分析了 AC 在代数（如每一个向量空间都有基）和拓扑学中的重要应用。 第7章：基数的算术与序数的结构 基于 ZFC，本章将基数和序数的形式化定义。序数（Ordinals）被定义为良序集合的传递子集，并展示了它们如何用于超限归纳法。基数（Cardinals）被定义为最小的序数，其具有特定的大小。本章推导了无限基数的算术规则（如 $aleph_0 cdot aleph_0 = aleph_0$），并讨论了连续统假设（Continuum Hypothesis, CH）在 ZFC 框架中的地位。 第三部分：模型理论导论：逻辑与结构的交汇 在建立了严谨的集合论基础后，本部分转向逻辑工具，探讨如何使用形式语言描述数学结构，并分析这些描述的局限性。 第8章：一阶逻辑的语法与语义 本章引入一阶逻辑（First-Order Logic, FOL）的正式框架。首先定义了语言（Language）的概念，包括常量、函数符号和谓词符号。随后，系统地构建了项（Terms）和公式（Formulas）的语法规则。语义部分是核心：我们定义了结构（Structures）或模型（Models），并给出了一个给定结构下公式的真值定义（满足关系）。本章还区分了自由变量和绑定变量，并引出了释模（Satisfaction）的概念。 第9章：证明论、完备性与紧致性 本章引入了证明（Proof）的概念，使用自然演绎系统（或序列演算）来形式化推理过程。重点放在一阶逻辑的两个基石定理： 1. 哥德尔完备性定理（Gödel's Completeness Theorem）：证明了逻辑上的可证性等价于语义上的可满足性。 2. 紧致性定理（Compactness Theorem）：阐述了如果一个公式集的所有有限子集都是可满足的，那么整个公式集也是可满足的。本书将展示如何利用这些定理来构建非标准的模型。 第10章：初等子结构与同构 本章探讨了模型之间的关系。同态（Homomorphism）、初等同态（Elementary Homomorphism）和同构（Isomorphism）被精确定义。特别是，我们将重点分析初等子结构的概念，即子结构如何保持上层结构的逻辑真理。这为后续的结构分类和描述奠定了基础。 第11章：Skolem-Löwenheim 定理与可数模型 本章深入探讨了模型的“大小”问题。低阶归纳定理（Löwenheim–Skolem Theorem），特别是其向上版本，展示了如果一个一阶理论存在一个可数模型，那么它存在任意基数大小的模型。我们将利用此定理来构造非标准模型（如非标准实数系统），这极大地拓宽了我们对理论描述力的理解。 结论与展望 本书的结论部分回顾了集合论如何提供了数学的“原材料”，以及模型理论如何提供了检验这些原材料在不同“宇宙”中表现的工具。我们强调了 ZFC 系统的强度和局限性，并展望了更高级的理论，如二阶逻辑和描述集合论，为读者未来在数学基础领域的研究提供清晰的路径。 --- 适用读者： 数学、逻辑学、哲学、理论计算机科学专业本科高年级及研究生。 先修要求： 扎实的微积分基础和基本的离散数学概念。

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