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出版者:Butterworth-Heinemann

作者:Bird, John

出品人:

页数:584

译者:

出版时间:2007-8

价格:$ 45.14

装帧:Pap

isbn号码:9780750685559

丛书系列:

图书标签:

工程数学
数学
高等数学
应用数学
理工科
大学教材
数学分析
线性代数
微分方程
数值分析

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具体描述

John Bird's approach to mathematics, based on numerous worked examples supported by problems, is ideal for students of a wide range of abilities. Theory is kept to a minimum, with the emphasis firmly placed on problem-solving skills, making this a thoroughly practical introduction to the mathematics engineering students need to master. The book presents a logical topic progression, rather than following the structure of a particular syllabus and is suitable for all Level 3 vocational students and first year undergraduates in Engineering. However, coverage has been carefully matched to the mathematics units within the 2007 BTEC National specifications. In this fifth edition, new material on inequalities and differentiation of parametric equations, implicit and logarithmic functions as well as an introduction to differential equations has been added. The book now also includes two new revision tests and even more problems for students to work through. Additional chapters on linear correlation, linear regression and sampling and estimation theories can be downloaded from the website.

物理世界的数学基础：一部面向工程实践的深度探索图书名称：深入流体力学的数学模型与数值方法图书简介：本书旨在为工程领域的专业人士、研究生及高年级本科生提供一套全面、深入且高度实用的流体力学数学基础体系。我们深知，在现代工程实践中，无论是航空航天、土木水利、化工过程还是生物医学工程，对流体行为的精确理解和预测都依赖于坚实的数学工具箱。本书避开了传统教科书中过于侧重理论推导而忽略实际应用的倾向，而是聚焦于如何运用高等数学、微分方程、向量分析和数值方法，有效地构建、求解和解释复杂的流体力学问题。本书共分为六大部分，结构严谨，层层递进，确保读者能够从基础概念无缝衔接到前沿研究工具的应用。第一部分：流体动力学的解析基础与经典方程（第 1 章 - 第 3 章）本部分作为全书的基石，首先回顾了必要的张量分析和场论知识，为描述流体运动的复杂性做好铺垫。我们不只是罗列公式，而是着重于物理意义的解释：应力张量、应变率张量如何精确地量化流体的内部作用力与变形速度。第 1 章：连续介质假设与运动学基础深入探讨了欧拉描述与拉格朗日描述之间的转换，强调了物质导数（Material Derivative）在描述随流体运动的量随时间变化中的核心地位。我们详细分析了流线、迹线和时间线之间的区别与联系，并通过实例展示了如何通过速度场的散度（Divergence）和旋度（Curl）来理解流体的局部压缩性和旋转性。本章特别引入了可视化技术（如流线图和涡量场），以增强对抽象数学概念的直观理解。第 2 章：流体守恒定律的微分形式这是全书的核心理论起点。我们将质量守恒（连续性方程）、动量守恒（Navier-Stokes 方程组）和能量守恒定律，从宏观积分形式推导至局部微分形式。重点放在了理解 Navier-Stokes 方程中各项的物理含义：惯性项、压力梯度项、粘性耗散项以及外力项。对于牛顿流体和非牛顿流体，我们分别讨论了本构关系的差异，并探讨了在不同坐标系（笛卡尔、柱坐标、球坐标）下方程的精确表达。我们还引入了简化假设，如不可压缩流体和等温流体，以展示如何将复杂方程组化简至可求解的范畴。第 3 章：经典解析解与简化模型在没有现代数值计算的时代，解析解是理解物理现象的唯一途径。本章聚焦于几个重要的、仍具有指导意义的解析案例。这包括： Couette 流与 Poiseuille 流：它们是理解剪切流和管道流速度剖面的基础模型，我们详细演示了如何利用边界条件和泊肃叶方程求解定常、层流状态。 Stokes 流（低雷诺数）：分析了粘性力远大于惯性力的微小尺度流动，例如微粒在粘稠液体中的沉降问题，突显了线性化处理的威力。薄层近似与边界层理论的初步引入：普朗特边界层理论是连接理想流体与真实粘性流动的桥梁，本章通过简化的分析方法，展示了如何分离并简化高雷诺数下流动的两个区域。第二部分：向量分析与偏微分方程的求解策略（第 4 章 - 第 6 章）流体力学方程本质上是偏微分方程（PDEs）。本部分将数学工具与物理问题紧密结合，教授读者如何系统地处理这些方程。第 4 章：偏微分方程的分类与特征系统梳理了二阶线性偏微分方程的分类（椭圆型、抛物线型、双曲型），并将 Navier-Stokes 方程（非线性）置于此背景下进行分析。我们探讨了流场解的物理性质与数学分类的关系，例如扩散现象对应抛物线型，波传播对应双曲型。重点分析了流场中的奇异性、激波等不连续现象的数学描述。第 5 章：拉普拉斯方程与泊松方程的解析方法这两种方程是不可压缩流体静力学、渗透流以及电磁场计算的基础。本章详细介绍了以下解析工具的应用：分离变量法：适用于具有简单几何形状（矩形、圆形）的问题。格林函数法：用于处理非齐次问题和复杂边界条件下的点源解，这是理解物理场叠加原理的关键。傅里叶变换与拉普拉斯变换：展示了如何利用变换域的代数特性简化无限域或半无限域上的偏微分方程。第 6 章：波动方程与特征线法对于可压缩流体中的声波传播和激波分析，波动方程至关重要。本章深入讲解了特征线法在求解双曲型 PDE 中的应用，这为后续理解激波的形成与传播提供了必要的解析框架。第三部分：数值计算的理论基石（第 7 章 - 第 9 章）在绝大多数复杂的工程问题中，解析解不复存在。本部分全面介绍现代计算流体力学（CFD）背后的核心数学与算法。第 7 章：离散化方法的数学原理重点对比了三种主要的离散化技术：有限差分法（FDM）、有限体积法（FVM）和有限元法（FEM）。我们详细剖析了 FDM 中截断误差的来源、一致性、稳定性和收敛性（Lax 等价定理的物理意义）。对于 FVM，强调了守恒性在网格界面上的保证，这是 CFD 成功的关键。第 8 章：时间离散化与稳定性分析流体流动通常是瞬态的。本章探讨了对时间项进行离散化时，显式和隐式方法的优缺点。我们利用冯·诺依曼稳定性分析方法，精确计算了欧拉法（前向、后向）和 Crank-Nicolson 方案的稳定条件（如 CFL 条件），并解释了为何在模拟高雷诺数流动时，隐式方法或更高阶的时间积分方案是必需的。第 9 章：线性代数方程组的求解 CFD 的最终结果是求解一个庞大的线性方程组。本章系统回顾了直接法（如 LU 分解）和迭代法（如 Jacobi、Gauss-Seidel）。重点在于介绍现代高效的迭代求解器，如共轭梯度法（CG）、广义最小残量法（GMRES）以及预条件子的构建策略，这些直接决定了模拟的效率和可行性。第四部分：处理非线性与耦合问题（第 10 章 - 第 12 章） Navier-Stokes 方程的非线性项是计算的巨大挑战。第 10 章：非线性方程的迭代求解详细介绍处理 Navier-Stokes 方程非线性的主流方法：牛顿法及其变体。讨论如何通过雅可比矩阵的构建和求解，实现二次收敛的迭代过程。对于难以收敛的强非线性问题，介绍粘性分裂法和人工时间推进法（如 SIMPLE 算法家族的数学基础）。第 11 章：处理高雷诺数流动：湍流模型的数学表述湍流的本质是多尺度、非线性的随机过程。本章不涉及具体的湍流模型代码实现，而是聚焦于湍流模型的数学建模：雷诺平均 Navier-Stokes (RANS) 方程：推导雷诺应力项，并分析 Boussinesq 假设的局限性。代数应力模型（如 $k-epsilon$ 和 $k-omega$ 模型）的输运方程：它们本质上是附加的偏微分方程组，我们分析了这些方程的守恒性质、源项和汇项的数学处理，以及它们对数值稳定性的影响。第 12 章：自由界面与多相流动的数学挑战对于涉及液面、气泡或颗粒的复杂流动（如波浪、雾化、沉积），方程组的边界条件是时变的。本章探讨了诸如水平集方法（Level Set Method）和相场方法（Phase Field Method）的数学框架，这些方法提供了描述拓扑变化的稳健数学工具。第五部分：求解器的稳健性与后处理（第 13 章 - 第 14 章）第 13 章：网格质量与误差估计的数学度量介绍高质量网格的重要性，并从数学上定义网格畸变（如非正交性、网格压缩因子）对求解精度的影响。深入探讨后处理中的误差分析技术，包括解的梯度计算、物理量场的平滑处理，以及如何通过解的局部变化率来估计网格自适应的必要性。第 14 章：计算可行性与性能分析讨论了并行计算（如域分解法）在处理大规模流动模拟中的数学基础。分析了求解器计算量的复杂度，以及如何通过选择合适的预条件子来优化迭代过程的收敛速度，从而在工程时间尺度内获得可接受的精度。第六部分：高级应用领域选讲（第 15 章）本章通过精选的工程案例，展示如何将前述数学工具应用于实际挑战，如超音速气动中的激波捕捉、多孔介质中的达西定律与非达西效应的数学过渡，以及生物流体中的微尺度效应建模。本书的特点在于，它要求读者不仅“知道”流体力学方程是什么，更要“理解”它们背后的数学本质、数值实现的陷阱以及如何通过数学洞察来指导工程决策。内容深度适中，既能满足研究生阶段对理论的严格要求，又具备高度的工程可操作性。