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出版者:Addison-Wesley

作者:Das, Biman

出品人:

页数:216

译者:

出版时间:2003-8

价格:$ 54.69

装帧:Pap

isbn号码:9780131414273

丛书系列:

图书标签:

• 数学
• 物理
• 大学物理
• 微积分
• 线性代数
• 数学物理
• 高等数学
• 工程数学
• 科学计算
• 物理学

物理学中的数学：从基础到前沿的深度解析 书籍名称： 物理学中的数学：从基础到前沿的深度解析 目标读者： 深入学习理论物理、应用物理、工程物理以及数学物理方向的高年级本科生、研究生以及研究人员。 内容概述： 本书旨在弥合物理学核心概念与支撑这些概念的严谨数学工具之间的鸿沟。我们认识到，现代物理学的进步越来越依赖于对高等数学结构的深刻理解，而现有的教材往往要么过于侧重数学的抽象推导，要么只是将数学作为解决特定物理问题的“配方”。本书的独特之处在于，它将数学理论的构建过程与物理图像的演化紧密结合，力求使读者不仅学会“如何使用”数学工具，更能理解“为何如此”以及“在何种限制下”这些工具适用于描述自然现象。 全书共分为六大部分，涵盖了从经典力学到量子场论所需的核心数学方法。 --- 第一部分：微积分与矢量分析的深化应用 本部分回顾了经典微积分的基础，但立即将其提升到物理学所需的严谨高度。重点在于多变量函数、偏微分方程（PDEs）的物理意义，以及场论的基础构建。 1. 场论的几何基础： 详细探讨了梯度、散度和旋度的物理诠释，不仅仅停留在算符层面，而是将其置于曲线积分和曲面积分的基本定理（如格林定理、斯托克斯定理和高斯散度定理）的框架下进行讨论。我们通过电磁学中的高斯定律和安培定律的积分形式，直观展示这些定理如何成为描述宏观场行为的基石。 2. 坐标系与张量初步： 引入了正交曲线坐标系（柱坐标、球坐标）的度规张量概念，强调坐标变换下物理量形式不变性的重要性，为后续的广义相对论打下基础。对拉普拉斯算子在不同坐标系下的表达进行了详尽的推导和物理应用分析，特别关注波动方程和泊松方程的求解。 --- 第二部分：常微分方程（ODEs）与特殊函数 物理学中许多基础问题最终归结为特定类型的常微分方程。本部分专注于如何识别这些方程，并利用物理边界条件求解它们。 1. 线性常微分方程与级数解法： 重点分析二阶线性齐次方程，如欧拉方程和勒让德方程。对幂级数解法进行了细致阐述，包括如何处理收敛半径问题和非零初值条件。 2. 经典特殊函数： 对贝塞尔函数（Bessel Functions）和勒让德多项式（Legendre Polynomials）的物理起源（如圆柱对称或球对称问题）进行了深入剖析。通过量子力学中的角动量本征值问题，展示了这些函数的本征性质及其正交性在谱理论中的核心地位。 3. 边值问题与傅里叶方法： 详细介绍了分离变量法在求解拉普拉斯方程和波动方程（在矩形、圆柱和球形区域）中的应用。对傅里叶级数和傅里叶积分的收敛性、逐点收敛性与一致收敛性的物理意义进行了辨析。 --- 第三部分：线性代数与算符理论 这是连接经典物理与量子力学数学结构的关键部分。本部分将线性代数从简单的矩阵运算提升到抽象向量空间和算符理论的层面。 1. 抽象向量空间： 引入内积空间、希尔伯特空间（Hilbert Space）的概念。我们使用狄拉克符号（Bra-Ket Notation）作为贯穿始终的语言，确保读者能够熟练地在坐标表象和算符表象之间切换。 2. 矩阵力学与本征值问题： 深入探讨厄米算符（Hermitian Operators）的性质，特别是其本征值必须是实数这一物理事实的深刻含义。通过对有限维系统（如自旋系统）的分析，展示了态叠加原理在矩阵表示下的体现。 3. 算符的泛函分析： 初步介绍算符的谱理论，包括连续谱和离散谱的物理区分，以及算符的函数化（如指数算符 $e^{iHt}$ 在时间演化中的作用）。 --- 第四部分：复变函数论与积分变换 复分析是处理波动力学、散射理论和因果关系分析不可或缺的工具。 1. 解析函数与柯西定理： 强调解析函数在物理中的独特性质——其导数和积分性质的高度约束性。详细推导柯西-古萨蒂积分公式，并将其应用于求解具有奇点的物理系统。 2. 留数定理与物理应用： 留数定理被系统地应用于处理涉及不连续点和奇点的积分。重点展示其在求解积分方程（如处理积分中的虚轴上的极点）和物理散射振幅中的应用。 3. 傅里叶与拉普拉斯变换的复平面分析： 不仅推导了傅里叶变换的定义，更重要的是分析其在复平面上的延拓，以及如何通过选择正确的围道（Contour）来处理物理上可接受的解（如使用“微小的虚部”来确保因果性）。 --- 第五部分：张量分析与微分几何基础 本部分是理解广义相对论和连续介质力学的数学框架。 1. 张量代数与指标符号： 严格区分协变（covariant）和反变（contravariant）张量。详细讨论黎曼几何中的度规张量、克里斯托费尔符号（Christoffel Symbols）的推导及其在协变导数中的作用。 2. 测地线方程与能量动量张量： 将测地线方程从数学形式推导到物理意义——物质告诉时空如何弯曲，时空告诉物质如何运动。介绍黎曼曲率张量（Riemann Curvature Tensor）的定义，并解释其物理意义在于衡量时空曲率的非零性。 3. 张量微分方程： 讨论在弯曲时空中的拉普拉斯方程（D'Alembertian）和物质场的连续性方程，强调协变导数在非欧几里得空间中的必要性。 --- 第六部分：群论与对称性在物理中的应用 本部分将抽象的群论概念转化为描述守恒定律和粒子分类的强大工具。 1. 群论基础与表示论： 介绍群、子群、陪集和同态映射。重点讲解李群（Lie Groups）的结构，特别是其生成元（Generators）和无穷小变换的性质。 2. 变换群与守恒律： 运用诺特定理（Noether's Theorem）建立连续对称性与守恒量之间的严格联系。详细分析洛伦兹群（Lorentz Group）和庞加莱群（Poincaré Group）的表示，解释其如何决定基本粒子的性质（如质量和自旋）。 3. 表示论在量子力学中的应用： 阐述不可约表示（Irreducible Representations）在量子态分类中的核心作用，特别是在角动量理论和SU(2)/SU(3)模型中的实际操作。 --- 总结： 本书并非一本纯粹的数学参考书，其叙述始终围绕物理学的核心问题展开。每一章节的数学工具都是为了解决特定的物理难题而引入的，并通过大量的物理实例和精选的习题（强调概念理解而非纯粹的数值计算）来巩固知识。读者在完成本书学习后，将能够以数学家的严谨性去处理物理问题，并能自信地阅读前沿的理论物理文献。

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