Applications of Lie's Theory of Ordinary and Partial Differential Equations pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

简体网页||繁体网页

☆☆☆☆☆

出版者:CRC Pr I Llc

作者:Dresner, Lawrence

出品人:

页数:225

译者:

出版时间:

价格:1435.10元

装帧:HRD

isbn号码:9780750305303

丛书系列:

图书标签:

• Lie群
• 李代数
• 常微分方程
• 偏微分方程
• 微分几何
• 数学物理
• 应用数学
• 偏微分方程数值解
• 常微分方程数值解
• 群分析

深入解析经典数学理论及其前沿应用：一部关于群论、几何与分析的综合论述 书名： Applications of Lie's Theory of Ordinary and Partial Differential Equations 内容提要： 本书旨在为读者提供一个全面、深入且结构严谨的数学专著，聚焦于李群论（Lie's Theory）在常微分方程（Ordinary Differential Equations, ODEs）和偏微分方程（Partial Differential Equations, PDEs）求解、对称性分析及几何结构揭示中的核心作用。全书以严谨的数学语言和丰富的应用实例为基石，系统地构建了从基础李代数到高级非线性PDEs对称性群计算的理论框架。 第一部分：李群与李代数的坚实基础 本书的第一部分致力于为读者打下理解李群理论及其在微分方程中应用的必要数学基础。我们从微分几何的视角切入，详细阐述了流形（Manifolds）、切空间（Tangent Spaces）和向量场（Vector Fields）等基本概念，为引入李群结构奠定了几何直观。 章节聚焦： 1. 李群的构造与性质： 介绍李群的定义、拓扑结构，特别是光滑结构。重点探讨了李群的例子，如一般线性群 $GL(n, mathbb{R})$、特殊正交群 $O(n)$ 和特殊酉群 $SU(n)$。深入分析了李群的子群、商群以及同态映射的性质，强调其在描述连续对称性变换中的不可替代性。 2. 李代数：群的线性化近似： 详细构建了李代数作为李群在单位元处的切空间。探讨了李括号（Lie Bracket）的定义、性质及其与群乘法展开的关系。书中花费大量篇幅讲解了指数映射（Exponential Map），作为连接李群和李代数的桥梁，并证明了其在局部范围内的双射性。 3. 表示论的初步： 为后续应用做准备，本书引入了李代数的表示理论。讲解了有限维复表示的基本概念，如权（Weights）、根（Roots）以及半单李代数的分类（如Cartan-Killing Killing 形式和根系图）。这部分内容为理解特定物理系统或几何结构中的对称性提供了代数工具。 第二部分：对称性与微分方程的联系 本书的核心部分，将理论与实践紧密结合。我们展示了李群如何直接作用于微分方程的解空间，从而揭示方程的内在对称结构。 常微分方程 (ODEs) 的对称性分析： 1. 连续对称群的定义： 严格定义了作用于 ODE 系统的局部微分同胚（Local Diffeomorphism）作为对称变换。探讨了 Infinitesimal 变换和生成元（Infinitesimal Generator）的概念。 2. 变分原理与守恒律（Noether's Theorem 基础）： 虽然诺特定理更常用于场论，但我们在此处探讨了其在常微分方程中的相应原理。通过引入拉格朗日形式，展示如何从连续对称性出发构造出积分不变量或守恒量，这直接简化了高阶 ODE 的求解。 3. 约化阶数（Reduction of Order）： 这是李群方法在 ODE 求解中的经典应用。详细演示了如何利用一个一参数（或多参数）李群的作用，将一个 $n$ 阶 ODE 转化为一个具有相同解族的 $(n-1)$ 阶 ODE，直至约化为代数方程或初等积分形式。书中包含了大量关于经典力学方程（如自由落体、简谐振子）的对称性分析案例。 偏微分方程 (PDEs) 的对称性与不变性： 1. 定义与推广： 将李群作用的概念推广到多变量函数空间，定义了作用于 PDE 系统的微分算子（Differential Operator）的不变性。 2. 提升映射（Lifting Maps）： 关键技术之一。详细解释了如何将作用于自变量和因变量上的群作用提升到一阶、二阶乃至更高阶导数上，以确保作用在整个 PDE 方程上保持不变。 3. 局部对称群的计算： 引入了著名的“对称性代数”方法。通过求解一个由方程的系数和生成元导数构成的线性系统（即“对称性方程”），系统地确定一个 PDE 所有的局部连续对称生成元集合。我们详细阐述了如何处理常系数和变系数线性的以及重要的非线性方程（如 Burgers 方程、KdV 方程）的对称性。 4. 不变解的构造： 利用已识别的对称群，展示了如何通过“定向化”（Ordinariation）或“约化”（Reduction）的方法，将一个 PDE 转化为一个阶数更低的 ODE，从而找到一类特殊形式的不变解 (Invariant Solutions)。这对于寻找孤波解或特定边界条件下的精确解至关重要。 第三部分：几何结构与现代应用 本书的最后一部分探讨了李群理论在更深层次的几何和现代数学物理中的延伸应用。 1. Poisson 括号与动力系统： 探讨了李代数如何自然地生成 Poisson 流，这在哈密顿力学中至关重要。展示了李群结构如何在辛几何（Symplectic Geometry）中保持结构不变性。 2. 不变性在边界值问题中的作用： 讨论了当 PDE 满足特定对称性时，如何简化边界条件和初始条件的设置，并保证解的唯一性或存在性。 3. 非线性群与 Bäcklund 变换（选讲）： 对李群理论在可积系统中的作用进行了概述，介绍了如何利用对称性分析来识别或构造 Bäcklund 变换对，以及它们如何生成新的解（例如，在非线性 σ 模型或 Sine-Gordon 方程中的应用）。 本书特色： 本书的结构设计旨在平衡理论的深度与应用的广度。它不仅详细阐述了李群、李代数和表示论的核心概念，更专注于展示如何将这些抽象工具系统地应用于实际的微分方程问题。文字力求精确、逻辑清晰，避免了不必要的冗余描述，旨在成为数学物理、理论物理、应用数学及相关工程领域研究人员和高级学生的权威参考书。通过对数百个具体案例的细致剖析，读者将能够掌握利用连续对称性方法解决复杂微分方程的强大技巧。

评分☆☆☆☆☆

评分☆☆☆☆☆

评分☆☆☆☆☆

评分☆☆☆☆☆

评分☆☆☆☆☆

评分☆☆☆☆☆

评分☆☆☆☆☆

评分☆☆☆☆☆

评分☆☆☆☆☆

评分☆☆☆☆☆