A Concrete Introduction to Higher Algebra pdf epub mobi txt 电子书下载 2026

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出版者:Springer

作者:Lindsay N. Childs

出品人:

页数:537

译者:

出版时间:2000-01-14

价格:USD 69.95

装帧:Paperback

isbn号码:9780387989990

丛书系列:Undergraduate Texts in Mathematics

图书标签:

数学
教科书
高等代数
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代数结构
群论
环论
域论

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具体描述

This book is an informal and readable introduction to higher algebra at the post-calculus level. The concepts of ring and field are introduced through study of the familiar examples of the integers and polynomials. A strong emphasis on congruence classes leads in a natural way to finite groups and finite fields. The new examples and theory are built in a well-motivated fashion and made relevant by many applications--to cryptography, coding, integration, history of mathematics, and especially to elementary and computational number theory. The later chapters include expositions of Rabiin's probabilistic primality test, quadratic reciprocity, and the classification of finite fields. Over 900 exercises, ranging from routine examples to extensions of theory, are found throughout the book; hints and answers for many of them are included in an appendix.

好的，这是一本关于高等代数的图书简介，它绝不涉及《A Concrete Introduction to Higher Algebra》的内容，并且力求内容详实、专业。《抽象代数核心：结构与范式》图书简介本书旨在为读者提供一个深入、全面且富有洞察力的抽象代数领域导论。它并非对基础概念的简单罗列，而是通过对代数结构内在逻辑的精妙构建，引导读者从最基本的集合论概念出发，逐步攀登至群论、环论和域论的宏伟殿堂。我们的核心目标是培养读者对代数思维的深刻理解，使其能够灵活运用这些工具解决更复杂的数学问题。第一部分：基础构建——集合、映射与代数系统的引入本书伊始，我们首先回顾和深化了必要的预备知识，重点在于集合论的严谨性、关系的定义以及函数的性质。这为后续代数结构的正式引入奠定了坚实的逻辑基础。我们强调了等价关系和划分的构造性证明方法，这些概念是理解同构以及商结构的关键。随后，我们正式引入了“代数系统”的概念，并从最基础的二元运算出发，探讨了封闭性、结合律、分配律等关键性质。通过对这些性质的系统考察，我们为读者构建了理解不同代数结构（如半群、独异点）的框架。这一阶段的重点在于建立一种对运算本质的直观感受，而非仅仅停留在形式化的定义层面。第二部分：群论的深度探索——对称性与自由度群论是本书的核心支柱之一。我们首先给出了群的严格定义，并通过丰富的实例——从加法群 $mathbb{Z}$ 到乘法群 $mathbb{Z}_n^$，再到矩阵群 $GL(n, mathbb{R})$——来阐释群的普遍性。子群与陪集：我们详细分析了子群的判别准则，并引入了陪集的概念。陪集的构造不仅是理解拉格朗日定理的桥梁，更是构造商群的前提。我们通过几何实例，例如对二面体群 $D_n$ 的分析，直观地展示了陪集分解的作用。正规子群与商群：正规子群的定义被置于关键地位。我们深入探讨了正规性的代数特征及其在群的分解中的作用。随后，商群的构造被详细阐述，我们证明了商群的运算是良定义的，这体现了抽象代数中构造的严谨性。同态与同构：群同态作为保持代数结构的最重要映射，占据了重要篇幅。我们详细讨论了核（Kernel）和像（Image）的性质，并给出了群同态基本定理的完整证明。同构的概念被提升到结构等价性的高度，使读者能够识别不同看似不同的群结构背后的共同本质。生成元与循环群：我们探讨了循环群的结构，证明了所有循环群都同构于 $mathbb{Z}$ 或 $mathbb{Z}_n$。对于非循环群，我们引入了生成元组的概念，并分析了自由群的初步思想，强调了如何在不预设任何关系的情况下构建群。群作用与应用：我们将视角转向群作用在集合上的应用，这是连接抽象代数与组合学、几何学的关键。通过对伯恩赛德引理的引入（不进行复杂的计数证明，但强调其在结构分析中的地位），我们展示了群作用如何提供强大的分类和计数工具，例如在对称计数问题中的应用。 Sylow 定理： Sylow 定理被视为有限群结构理论的巅峰。我们对一、二、三部分的定理进行了详尽的推导和论证，强调了 Sylow $p$-子群在确定有限群结构中的决定性作用。对这些定理的掌握，标志着对有限群结构分析能力的质的飞跃。第三部分：环论的深化——数域的延伸与理想结构环论的引入将代数运算的复杂度提升到两个操作的层面。我们从交换环、整环到域的演变路径进行了清晰的划分。环的基本性质与子环：读者将学习到环的基本定义、零因子、单位元以及环的分类。重点关注了子环和单位群的性质。理想与商环：类似于群论中的正规子群，理想在环论中扮演着核心角色。我们区分了左、右理想和双边理想，并着重分析了主理想、素理想和极大理想的定义及其相互关系。商环的构造及其与理想的对应关系被严密论证，特别是对于交换环的分析。整环的特殊性质：我们深入研究了整环的特性，特别是其满足的零因子条件。在此基础上，我们引入了域的概念，并证明了任何域都是一个（平凡的）整环。域的性质，尤其是其在代数方程求解中的中心地位，被反复强调。多项式环：多项式环 $mathbb{F}[x]$（其中 $mathbb{F}$ 是一个域）是环论中最具建设性的结构之一。我们证明了多项式环上的带余除法定理（即欧几里得域的性质），并基于此推导了唯一因子分解整环（UFD）的概念。我们将整数环 $mathbb{Z}$ 和高斯整数环 $mathbb{Z}[i]$ 作为UFD的实例进行分析。域的扩张：域扩张是连接代数与伽罗瓦理论的必要步骤。我们定义了域扩张的次数，并分析了代数元与超越元。我们侧重于构造有限域 $mathbb{F}_q$，并证明了其存在性与唯一性，为现代密码学和编码理论奠定了基础。第四部分：结构与应用本书的最后部分将前三部分的内容有机地结合起来，探讨了更高级的话题。模的概念：模作为群和环之间的一个过渡结构，被用作理解线性代数的更一般背景。我们分析了模的子模、模同态以及模的生成与判定。伽罗瓦理论导引：在此基础上，我们对伽罗瓦理论进行了初步的介绍，重点在于它如何将域扩张的代数问题转化为群论问题。我们将讨论可解性与不可约多项式的根式解之间的深刻联系，为理解五次及以上方程不可解性提供代数框架。读者对象：本书面向数学、物理、计算机科学（特别是理论计算机科学和密码学）的本科高年级学生和研究生。它要求读者具备扎实的微积分和线性代数基础，并渴望深入理解数学中最基本、最有力的抽象结构。本书的风格强调严谨的证明、清晰的逻辑链条以及对概念深刻的几何或代数洞察力。