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出版者:Thomson Learning

作者:Smith, Robert D./ Peterson, John C.

出品人:

页数:880

译者:

出版时间:2006-6

价格:$ 201.95

装帧:Pap

isbn号码:9781418015435

丛书系列:

图书标签:

• 数学
• 技术数学
• 入门
• 工程数学
• 应用数学
• 代数
• 三角学
• 微积分预备
• STEM
• 职业教育

深入探索现代科学与工程的基石：高等数学与应用物理学前沿 本书旨在为具备扎实代数与基础微积分知识的读者提供一个全面、深入的框架，用以理解和应用更高级的数学工具以及当代物理学中的核心概念。我们聚焦于那些在工程设计、数据科学、理论物理以及复杂系统建模中不可或缺的知识体系，强调理论的严谨性与实际应用的紧密结合。 第一部分：线性代数——结构的语言 本部分将线性代数从单纯的代数运算提升至理解向量空间、变换和结构的层面。我们首先回顾向量的基本运算，随后迅速过渡到线性组合、线性无关性、张成空间等核心概念。 1.1 向量空间与子空间： 详细探讨抽象向量空间的定义，包括 $mathbb{R}^n$ 之外的函数空间（如多项式空间）和矩阵空间。我们将严格证明子空间的判别准则，并深入分析四种基本子空间（列空间、零空间、行空间、左零空间）之间的内在联系及其在解线性方程组中的决定性作用。 1.2 线性变换与矩阵表示： 线性变换被视为向量空间之间的“映射桥梁”。我们剖析如何用矩阵来表示这些变换，包括对角化、相似变换的概念。重点在于理解特征值和特征向量的几何意义——它们代表了变换下保持方向不变的“不变轴线”，这是理解动力系统稳定性的关键。我们将详尽讨论可对角化和不可对角化矩阵的处理方法，并引入若尔当标准型（Jordan Canonical Form）作为处理更一般情况的工具，确保对所有方阵的结构有完整的认识。 1.3 内积空间与正交性： 将欧几里得空间的概念推广到更一般的内积空间。这包括定义内积、范数，并引出正交基的概念。格拉姆-施密特（Gram-Schmidt）正交化过程将被详尽阐述，它不仅是构造正交基的算法，更是傅里叶分析等诸多领域的基础。本节还将深入探讨最小二乘法，解释其在数据拟合和线性回归中作为“最优近似”的数学基础。 1.4 行列式的高级视角： 超越代数计算，我们将行列式解释为其作为线性变换体积（或定向体积）变化的缩放因子。通过外积（楔积）的概念，我们从几何上重新审视行列式，并证明其在多重积分坐标变换中的核心地位。 第二部分：多元微积分——多维世界的剖析 本部分将单变量微积分的强大工具扩展到三维及更高维度，这是理解物理场和复杂工程问题的必备技能。 2.1 偏导数与方向导数： 详细区分偏导数与方向导数。方向导数（Directional Derivative）被视为函数在特定方向上的瞬时变化率，其梯度向量（Gradient Vector）被引入，强调梯度指向函数增长最快的方向。 2.2 多重积分与坐标变换： 我们将侧重于二重、三重积分的设置和计算。重点在于理解雅可比行列式（Jacobian Determinant）在坐标系转换中的作用，包括从笛卡尔坐标到极坐标、圆柱坐标和球坐标的精确转换，确保读者能够根据问题的几何特性选择最简化的积分形式。 2.3 向量微积分基础： 向量场（Vector Fields）的引入是理解流体动力学、电磁场和势论的基础。本节将严格定义和计算： 散度（Divergence）： 衡量向量场在某一点的“源”或“汇”的强度。 旋度（Curl）： 衡量向量场在某一点的“旋转”趋势。 我们将详细解释这些微分算子在三维空间中的物理意义，并探讨它们在笛卡尔坐标系下的计算方法。 2.4 积分定理的宏伟蓝图： 介绍连接场论基础的关键定理，这些定理是物理学描述连续介质运动和场分布的基石： 格林定理（Green’s Theorem）： 连接平面区域上的二重积分与边界上的线积分。 斯托克斯定理（Stokes’ Theorem）： 将曲面上的旋度通量与边界上的线积分联系起来，是电磁学中法拉第电磁感应定律的微分形式的数学对应。 散度定理（Gauss’ Theorem）： 将三维区域上的散度通量与封闭曲面上的通量联系起来，是电磁学中高斯定律的数学表达。对这些定理的深入理解远胜于机械记忆公式。 第三部分：常微分方程（ODE）——动态系统的建模 本部分聚焦于建立、求解和分析描述物理系统随时间变化的数学模型。 3.1 一阶ODE： 系统梳理可分离变量法、积分因子法（用于一阶线性ODE）、恰当方程法。重点分析其在人口增长、放射性衰变和RC电路瞬态响应等问题中的应用。 3.2 二阶线性常系数ODE： 详细推导和应用特征方程法来求解齐次和非齐次方程。我们将深入探讨阻尼振动系统（如弹簧-质量系统）中的过阻尼、临界阻尼和欠阻尼情况，并解释共振现象的数学起源。 3.3 机械振动与拉普拉斯变换： 拉普拉斯变换被引入作为求解非齐次二阶ODE及处理具有阶跃输入（如瞬时施加的力）和冲激输入（如碰撞）问题的强大代数工具。我们将演示如何利用拉普拉斯逆变换恢复系统的时域响应，这在控制工程中至关重要。 3.4 动力系统与相平面分析： 对于二阶自治系统，我们将探讨相平面分析法。通过分析奇点（平衡点）的类型（节点、鞍点、焦点、中心）及其稳定性，我们无需求解完整的微分方程，就能定性地理解系统的长期行为，这在非线性动力学和生物系统中具有不可替代的价值。 第四部分：复变函数与傅里叶分析简介 本部分为读者进入更高级的信号处理、流体力学和更严谨的物理场论打下基础。 4.1 复数与解析函数： 复数的几何表示，欧拉公式及其在三角函数和指数函数中的应用。严格定义复变函数的导数，引入柯西-黎曼（Cauchy-Riemann）方程，解释为什么解析函数（全纯函数）的实部和虚部必须满足拉普拉斯方程（调和函数），从而将多元微积分与复变分析联系起来。 4.2 傅里叶级数与傅里叶变换： 将周期函数分解为正弦和余弦（或复指数）的无限和，即傅里叶级数。我们将严格证明收敛性，并展示其在求解热传导方程（偏微分方程）周期性边界条件下的应用。在此基础上，傅里叶变换被引入，作为分析非周期信号频域特征的标准工具。 --- 本书的特点在于其严格的数学证明与对物理直觉的培养并重。每一章都包含大量的应用实例，取材于经典力学、电磁学和基础电路理论，旨在让读者不仅掌握“如何计算”，更能理解“为什么这样做是正确的”以及“它在现实世界中意味着什么”。

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