An Introduction to Abstract Algebra with Notes to the Future Teacher pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:Prentice Hall

作者:Nicodemi, Olympia E./ Sutherland, Melissa A./ Towsley, Gary W.

出品人:

页数:448

译者:

出版时间:2006-4

价格:$ 107.72

装帧:HRD

isbn号码:9780131019638

丛书系列:

图书标签:

• 抽象代数
• 代数学
• 抽象数学
• 高等数学
• 教材
• 教育
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• 数学教育
• 入门
• 未来教师

好的，这是一份关于一本名为《An Introduction to Abstract Algebra with Notes to the Future Teacher》的书籍的详细简介，内容专注于该书可能涵盖的代数主题，但不直接提及书名或任何AI生成相关信息。 --- 《抽象代数导论：面向未来教师的笔记》 内容概述 本书旨在为读者提供一套全面而深入的抽象代数基础知识，特别关注那些对于未来数学教育工作者至关重要的概念和教学视角。全书结构严谨，从基础的群论概念出发，逐步过渡到环、域以及更高级的代数结构，同时穿插了大量反思性的“教师笔记”，旨在弥合纯数学理论与实际课堂教学之间的鸿沟。 第一部分：群论基础与结构 本书的开篇聚焦于群论的核心概念。我们从集合、二元运算的定义以及群的四条基本公理入手，奠定坚实的起点。 子群与陪集： 详细探讨了子群的概念，包括平凡子群和非平凡子群，并引入了拉格朗日定理这一群论的基石。陪集的引入不仅解释了如何划分群的元素，也为后续的正规子群和商群的建立提供了必要的工具。在讨论陪集时，我们会强调其在集合划分上的直观意义，以及如何利用陪集来证明群的基本性质。 同态与同构： 这是理解代数结构之间关系的关键。本书不仅定义了群同态和同构，更深入探讨了核（Kernel）和像（Image）的性质。我们阐述了规范子群（正规子群）的特征——它们是那些具有良好性质的子群，使得商群的构造成为可能。同构定理，特别是第一同构定理，将被详细推导和应用，展示了抽象结构之间的深层联系。 循环群与有限生成群： 循环群作为最简单的代数结构，被用作理解更复杂结构的跳板。我们将展示所有循环群都同构于 $mathbb{Z}$ 或 $mathbb{Z}_n$。对于有限生成群，我们会探讨其生成元集合的概念，以及如何利用这些生成元来描述群的全部元素。 置换群与群作用： 置换群（对称群 $S_n$）是理解有限群的丰富实例。我们通过分析对换（Transpositions）和循环（Cycles）来构建 $S_n$，并引入交错群 $A_n$。更重要的是，我们将详细讨论群作用的概念，包括轨道（Orbits）和稳定子（Stabilizers），并应用伯恩赛德引理（Burnside's Lemma）解决计数问题，这对于展示代数在实际问题中的应用至关重要。 第二部分：环论与域 在群论的基础上，本书转向环与域的结构。环是带有加法和乘法运算的代数结构，其复杂性在于乘法的非交换性（在一般情况下）。 环的定义与基本性质： 涵盖了交换环、单位环、零因子以及积分域（整环）的定义。我们将考察如整数环 $mathbb{Z}$、多项式环 $F[x]$ 以及矩阵环等重要例子。 子环与理想： 理想在环论中的地位类似于群论中的正规子群。本书详细阐述了理想的定义、生成理想以及主理想的概念。我们将展示如何构造商环，并证明环上的同态定理。重点会放在主理想整环（PID）和唯一因子域（UFD）的讨论上，这些结构在代数数论和代数几何中具有核心地位。 域与域的扩张： 域是最“良好”的环结构，其中每个非零元素都有乘法逆元。我们将考察有理数域 $mathbb{Q}$、实数域 $mathbb{R}$ 和复数域 $mathbb{C}$。域扩张的概念是连接经典代数与伽罗瓦理论的关键桥梁。我们将引入代数数与超越数，并探讨有限域的构造及其在编码理论和密码学中的实际应用。 第三部分：面向未来的教学策略（教师笔记） 本部分是本书的特色所在，它嵌入在每一章的关键理论点之后，旨在为读者提供从教学实践角度理解抽象代数的方法。 概念的直观化： 教师笔记将指导读者如何将抽象的定义（如“正规子群”）转化为学生可以理解的、基于具体例子（如矩阵的相似变换或置换的分解）的直观图像。例如，如何用对称性来解释群的概念，而不是仅仅依赖于代数公理。 错误分析与常见误区： 深入分析学生在学习抽象代数时最容易混淆的概念，如“同态”与“同构”的区分、对“交换律”在环和群中不同地位的理解，以及如何处理“无限性”带来的认知障碍。 从具体到抽象的路径： 强调教学设计应遵循“从具体案例中提炼结构”的原则。例如，先展示有限几何中的旋转与反射来理解群，再引出抽象的群定义，而不是反其道而行之。笔记中会提供大量从 $mathbb{Z}_n$、$D_n$（二面体群）到更复杂结构的逐步深化案例。 证明的艺术与教育价值： 探讨如何引导学生进行严谨的数学证明。重点不在于证明的复杂性，而在于证明的逻辑结构和清晰度。笔记会提供如何分解一个复杂证明、如何引导学生发现证明的关键步骤的教学建议。 应用与关联： 探讨抽象代数与其他数学分支（如线性代数、拓扑学）以及科学领域（如密码学、物理学）的联系，以增强学生学习的动力和对学科价值的认识。 总结 本书不仅是一本严谨的抽象代数教科书，更是一本关于如何有效传授这门学科的教学指南。它确保读者在掌握深刻数学理论的同时，也具备了在未来的教育岗位上清晰、有洞察力地引导下一代学生进入抽象世界的能力。

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