具体描述
数学原理与应用：代数II 探索 本书导言：通往高等数学的坚实桥梁 《代数II：数学原理与应用》旨在为读者构建一个坚实的高级代数基础，作为深入学习微积分、线性代数乃至更复杂数学分支的必经之路。本书超越了基础代数（如《代数I》）所涵盖的线性方程组和基本多项式运算，将重点放在更抽象、更具结构性的数学概念上。我们相信，真正的数学能力并非简单地记住公式，而是理解事物背后的逻辑和结构。因此，本书的叙事围绕“为什么”展开，鼓励读者像数学家一样思考和推理。 第一部分：超越线性——多项式的深度挖掘 第一章：多项式的代数结构 本章将重访多项式，但视角更为深刻。我们不再满足于简单的加减乘除，而是深入探讨多项式的根的性质。 多项式环的引入： 将多项式视为一个环结构，探讨多项式除法的唯一性，以及高斯引理在有理根判定中的应用。这为理解域扩张奠定了基础。 复数域的完备性： 详细阐述代数基本定理的证明思路，强调复数域 $mathbb{C}$ 的代数闭合性。我们将分析如何通过将实系数多项式分解为一次和二次（不可约）多项式的乘积，来系统地找到所有根。 有理函数与偏分式分解： 介绍有理函数，并详细讲解偏分式分解（Partial Fraction Decomposition）的完整算法，这对于后续的微积分积分运算至关重要。 第二章：多项式与几何的交汇点 本章连接了抽象的代数概念与直观的几何解释。 多项式函数的图像分析： 不仅是描绘曲线，而是利用导数（虽然不深入微积分，但会引入变化率的概念）来确定多项式的局部极值、拐点以及渐进行为。 柯西-施瓦茨不等式在多项式逼近中的初步应用： 初步探讨如何用低次多项式来“最好地”逼近复杂函数，这为数值分析埋下伏笔。 第二部分：指数、对数与增长模型 第三章：自然增长与指数函数 指数和对数函数是描述自然界中许多现象（如放射性衰变、人口增长、复利计算）的核心工具。 指数函数的严格定义： 我们将使用极限来严格定义 $e^x$，而非仅仅依赖于一个常数 $e$。探讨其反函数——自然对数 $ln(x)$ 的性质。 换底公式的深层理解： 不仅是记住公式，而是从指数函数的单调性和可逆性来推导出换底公式的必然性。 指数方程的解法： 系统梳理涉及不同底数的指数方程的求解策略，包括变量替换法和分段讨论法。 第四章：对数方程与尺度变换 本章关注对数在简化复杂关系中的作用。 对数在数据分析中的作用： 解释半对数图和双对数图如何将指数或幂函数关系转化为直线，从而简化数据的线性回归分析。 复合增长模型： 探讨连续复利 $A = Pe^{rt}$ 的推导过程，并将其应用于生物学和经济学模型中。 第三部分：序列、级数与收敛性的开端 第五章：序列与级数的基础 本部分是通往高等数学分析的关键跳板，引入了无限求和的概念。 序列的极限： 严格定义数列的收敛与发散。探讨单调收敛定理，这是证明许多重要序列极限的基础。 等差数列与等比数列的有限与无限和： 重新审视这些基础概念，但重点放在级数（无限求和）上。 等比级数： 详细推导其求和公式，并严格证明了只有当公比的绝对值小于一时，级数才收敛。这对于理解迭代过程至关重要。 调和级数的发散性证明： 采用经典的比较测试法（或分组求和法）来证明最简单的发散级数之一，帮助读者建立对“无限求和”概念的直观感受。 第六章：泰勒多项式的初步视角 本章是连接多项式与函数的关键，也是微积分思想的萌芽。 用多项式逼近复杂函数： 介绍如何使用函数在某一点的值和导数值来构造一个多项式，使其在局部区域内能很好地近似原函数。 误差估计的直觉： 初步讨论增加多项式次数如何减小逼近误差，为读者在学习泰勒级数时建立直观认识。 第四部分：关系、函数与变换 第七章：高级函数分析 本章侧重于函数的性质和它们之间的关系。 反函数与函数复合的深入研究： 探讨函数必须满足什么条件（如单射性）才能保证反函数的存在。分析复合函数 $f(g(x))$ 的性质如何继承自 $f$ 和 $g$。 奇偶函数的对称性： 结合图形分析，强调奇偶函数的代数性质与其图像在坐标轴上的对称关系。 第八章：矩阵代数入门：线性系统的视觉化 虽然本领域在《代数II》中通常是作为选学或预备知识，但我们将其作为理解多变量系统的必要工具。 二维线性系统的矩阵表示： 将二元或三元一次方程组转化为矩阵形式 $AX=B$。 矩阵乘法的几何意义： 解释二维矩阵乘法如何对应于空间中的线性变换（如旋转和拉伸），而不是仅仅进行代数运算。 总结与展望 《代数II：数学原理与应用》不仅巩固了基础代数技能，更重要的是，它为读者引入了“分析”、“结构”和“收敛”等核心数学思想。学完本书，读者将具备处理复杂方程、理解增长模型、并对无限求和有初步概念的能力，为未来学习更高级的数学领域做好充分准备。本书的重点在于建立清晰的逻辑链条和严谨的数学推理过程。
作者简介
目录信息
读后感
评分
评分
评分
评分
评分
用户评价
评分
评分
评分
评分
评分
相关图书
本站所有内容均为互联网搜索引擎提供的公开搜索信息，本站不存储任何数据与内容，任何内容与数据均与本站无关，如有需要请联系相关搜索引擎包括但不限于百度，google,bing,sogou 等
© 2026 qciss.net All Rights Reserved. 小哈图书下载中心 版权所有