A Continuum Limit of the Toda Lattice pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:Amer Mathematical Society

作者:Deift, Percy/ McLaughlin, Kenneth T-R

出品人:

页数:216

译者:

出版时间:

价格:57

装帧:Pap

isbn号码:9780821806913

丛书系列:

图书标签:

• Toda Lattice
• Integrable Systems
• Continuum Limit
• Solitons
• Mathematical Physics
• Nonlinear Waves
• Differential Geometry
• Classical Mechanics
• Partial Differential Equations
• Asymptotic Analysis

好的，这是一份关于假设的图书《A Continuum Limit of the Toda Lattice》的详细简介，完全基于该主题的数学和物理背景构建，不包含任何关于原书内容的描述。 --- 书名： A Continuum Limit of the Toda Lattice 作者： (此处留空，以保持简洁和专业性) 出版信息： (此处留空) --- 深入解析：从离散动力学到连续场论的桥梁 《A Continuum Limit of the Toda Lattice》 是一部聚焦于非线性偏微分方程（PDEs）与可积系统之间深刻联系的前沿专著。本书的核心目标是系统地探讨一类著名的离散非线性网络——户田晶格（Toda Lattice）——在特定极限条件下如何收敛至连续的、可积的动力学模型。该研究不仅为理解物理系统中从微观原子/分子尺度到宏观连续介质描述的过渡提供了严格的数学框架，同时也揭示了可积性在多尺度建模中的核心作用。 理论基石与方法论 本书建立在两个主要的数学支柱之上：离散可积系统理论（以户田晶格为代表）和非线性波的连续场论（以Korteweg-de Vries (KdV)方程、非线性薛定谔(NLS)方程等为代表）。 户田晶格，作为一维晶格中非线性振动的基本模型，以其精确的可积性（存在无穷多守恒量，并可通过集体变量的演化被完全解耦）而著称。其核心在于相互作用势的特殊结构（指数势），这使得系统的哈密顿量和运动方程具有独特的代数特性。 连续极限的数学操作——通常涉及将晶格间距$ epsilon $趋于零，同时对位移场进行平滑近似——是连接离散与连续世界的关键。本书详尽分析了在不同物理尺度（例如，在考虑长波近似或高频激发时）下，如何选择合适的重整化变量和缩放因子，以确保极限过程的收敛性和物理意义的保持。 核心主题的深入探讨 第一部分：户田晶格的精确可积性 本部分首先回顾了户田晶格的经典构造。重点在于 Lax 对的建立和完全可积性的证明，特别是如何通过刀片（Blade）变换或有限差分算子的对角化来导出系统的守恒量。 集体变量（Collective Variables）： 详细讨论了如何将晶格的局部位移和动量转化为描述波传播的集体变量，如速度和密度涨落。这些变量是进行连续极限分析的必要前置步骤。 有限差分与差分算子： 深入研究了离散导数和离散拉普拉斯算子在指数势作用下的精确代数结构，并将其与连续极限下的偏微分算子进行对比。 第二部分：连续极限的数学构造与收敛性 这是本书的理论核心。它专注于严谨地推导从户田晶格到连续模型的具体数学步骤。 长波近似（Long-Wavelength Limit）： 在此极限下，晶格间距远小于波长，系统演化被描述为低阶的非线性偏微分方程。本书详细展示了如何通过泰勒展开和高阶修正项的分析，精确地恢复出标准的KdV方程及其高阶修正。 梯度分析与尺度选择： 探讨了在不同物理场景下（如声波、扭转波），需要对时间、空间和位移变量进行何种非平凡的耦合和缩放（例如，引入 $t sim 1/epsilon^p, x sim epsilon^q$ 等尺度因子）才能揭示出非平凡的连续动态。 奇异性与退化： 分析了当晶格参数趋向某些临界值时，连续极限的退化行为。这可能导致模型从KdV类型转变为更复杂的非线性演化方程，例如与非线性对流项或非线性色散项相关的方程。 第三部分：与经典可积模型的关联 本书的关键贡献在于明确了户田连续极限与几种重要的可积连续模型之间的同构关系。 KdV方程的精确导出： 详细阐述了户田系统如何在连续极限中，通过适当的势能和初始条件，精确地退化为KdV方程。这提供了对KdV方程物理起源的微观动力学层面的理解。 非线性薛定谔 (NLS) 模型的探索： 讨论了在某些调制不稳定的情况下，户田晶格可能收敛到描述包络动力学的NLS方程。这通常需要更精细的尺度分析，关注高频、小幅度的调制波。 更高阶的演化方程： 探索了在更高阶或更复杂的相互作用势（如考虑三体相互作用或非对称势）下的户田晶格的连续极限，这可能导向如Camassa-Holm (CH) 或 Sine-Gordon (SG) 方程的特定离散近似。 第四部分：物理意义与应用展望 本书的最后部分将理论结果置于更广阔的物理背景中进行讨论。 晶格振动与声学： 从户田模型的角度，解释了固体材料中的非线性声波传播、孤子现象以及晶格的低频（长波）响应特性。 非线性光学： 户田连续极限在描述光纤中的光脉冲传播（对应NLS方程）方面具有深刻的启示，特别是当光纤的介质结构具有周期性或离散特征时。 随机性和耗散的引入： 作为一个展望，本书讨论了在户田晶格中引入微小的随机扰动或耗散项后，其连续极限会如何变化，这可能导致从可积到非可积系统的过渡，并与随机KdV方程或Burgers方程的变体相关联。 读者定位 本书面向高等院校的数学物理、理论物理、应用数学（特别是动力系统和偏微分方程方向）的研究生、博士后以及资深研究人员。它要求读者具备扎实的经典力学、偏微分方程基础，并对可积系统理论有初步的了解。对于希望从第一性原理理解KdV和NLS方程物理起源的研究者而言，本书提供了不可或缺的严谨视角。 ---

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