Algebraic Geometry and Number Theory pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:Springer Verlag

作者:Ginzburg, Victor 编

出品人:

页数:664

译者:

出版时间:2006-9

价格:$ 258.77

装帧:HRD

isbn号码:9780817644710

丛书系列:

图书标签:

• 代数几何
• 数论
• 代数数论
• 算术几何
• 代数簇
• 曲线
• 曲面
• 同调论
• 层论
• 模形式

《解析几何与数论》图书简介 深入解析代数几何与数论的交汇点：理论基础、前沿进展与应用展望 本书旨在为读者提供一个全面、深入且富有洞察力的视角，探索代数几何与数论这两个数学核心领域之间深刻而迷人的相互作用。我们着眼于连接这两个领域的关键桥梁——例如椭圆曲线、模形式、L-函数及其在费马大定理证明中所扮演的角色——而非简单地罗列各自独立的发展。全书结构严谨，力求在保持数学严密性的同时，兼顾清晰的逻辑脉络和直观的理解。 第一部分：基础构建——必要的几何与代数回顾 本部分致力于奠定坚实的数学基础，确保读者能无障碍地进入后续的深入探讨。 第一章：代数几何的现代视角 本章从经典代数几何的根源出发，迅速过渡到方案论（Scheme Theory）的现代框架。我们详细阐述了概形（schemes）的概念，包括局部环、环谱（Spec R）的拓扑结构，以及如何利用概形来研究多项式方程的解集——代数簇。重点讨论了如何使用概形语言来统一处理数域上的几何对象和有限域上的几何对象。涵盖了凝聚层（coherent sheaves）、局部上同调（local cohomology）以及概形之间的态射（morphisms）及其性质，为后续引入数论对象（如数域上的椭圆曲线）做好准备。 第二章：经典数论回顾与代数数论基础 本章重温了数论的核心概念，从整数环 $mathbb{Z}$ 推广到代数数域 $K$ 上的代数整数环 $mathcal{O}_K$。详细讨论了理想的唯一分解性（或其失效情况）、类群（Class Group）的定义与重要性，以及单位群（Unit Group）的结构（狄利克雷单位定理）。此外，本章也为狄利克雷L-函数（Dirichlet L-functions）的引入奠定基础，特别是与二次互反律和高斯和（Gauss Sums）的联系。 第二章的重点在于理解“几何的缺失”——即类数不为一时，代数几何工具的必要性。 第二部分：交汇核心——椭圆曲线的代数几何观 椭圆曲线是连接代数几何与数论的最关键对象。本部分将花费大量篇幅来剖析其几何与算术性质的统一性。 第三章：椭圆曲线的几何构造与模空间 本章从射影平面上的光滑三次曲线入手，定义了椭圆曲线 $E$ 上的群律，并从几何上论证了其群结构的合理性。随后，我们深入研究了模空间 $mathcal{M}_1$ 的概念，即所有模 $j$-不变量确定的等价类椭圆曲线的集合。本章细致阐述了如何通过模参数化来理解椭圆曲线的“所有”例子，特别是模空间如何被构造为一个 $mathbb{P}^1$ （或其补集），这直接引出了模形式的概念。 第四章：椭圆曲线的算术性质与韦伊定理 本章转向椭圆曲线上的有理点 $E(mathbb{Q})$。我们引入了韦伊算术（Mordell-Weil Theorem）的核心思想，即群的有限生成性，以及其结构 $E(mathbb{Q}) cong mathbb{Z}^r oplus E(mathbb{Q})_{ ext{tors}}$。我们将讨论 torsion 部分的结构（结合龙贝特定理），并详细介绍 $mathbb{Q}$ 上的极小模型、判别式（Discriminant）和良约化（Good Reduction）的概念，这些概念直接依赖于代数几何中的局部完备化技术。 第五章：模形式与 $L$-函数的桥梁 这是本书的理论高潮之一。本章引入赫尔穆特·费德尔曼（Fedorovitch Fedorov）定义的 $Gamma_0(N)$ 作用于上半平面 $mathbb{H}$ 上的模形式 $f$。我们定义了模形式的傅立叶展开，并阐述了 $L(f, s)$ 的定义。关键在于，我们将椭圆曲线 $E/mathbb{Q}$ 关联到特定的模形式 $f_E$（Taniyama-Shimura-Weil 猜想的初步形式）。通过比较 $E$ 的局部 $zeta$ 函数与模形式 $f_E$ 的 $L$-函数，展示了两者在初等因子上的对应关系，这是证明费马大定理的关键算术基础。 第三部分：高阶理论与前沿应用 在掌握了椭圆曲线这一核心案例后，本部分将视野扩展到更广泛的领域，包括更一般的代数簇、高维空间中的算术以及当前研究热点。 第六章：高维代数簇与贝赫和斯维讷通-戴尔猜想（BSD） 本章将基础框架推广到更高维度的代数簇，特别是K3曲面和更一般的高维Kähler流形。我们将引入对一般簇的算术研究的期望——BSD猜想的现代表述。重点分析BSD猜想中解析部分（即秩 $r$ 的确定）与代数部分（即Néron-Severi群的结构）之间的深刻联系。讨论如何使用代数K理论（K-theory）来理解代数簇上的上同调群，及其与 $L$-函数的奇点行为之间的关系。 第七章：阿贝尔簇与雅可比多样体 阿贝尔簇是比椭圆曲线更一般的对象——在代数簇上拥有群结构的簇。本章定义了雅可比多样体 $ ext{Jac}(C)$，作为代数组合体 $C$ 上所有线丛的模空间。我们将探讨Picard群与群结构之间的关系，特别是雅可比多样体的模空间如何被参数化（通过希尔伯特-波尔-朗斯定理）。这部分内容对于理解复流形上的数论问题至关重要。 第八章：几何中的代数拓扑工具与霍奇理论 本章回顾了代数几何中不可或缺的拓扑工具，特别是De Rham上同调和复上同调。我们详细介绍了霍奇分解 $H^k(X_{mathbb{C}}, mathbb{C}) cong igoplus_{p+q=k} H^{p,q}(X)$ 在理解复代数簇结构上的威力。随后，我们将此分解与数论中的局部场上的韦伊上同调联系起来，讨论了对数霍奇结构（Logarithmic Hodge Structures）在研究退化情况下的作用。 第九章：算术几何中的前沿问题与开放方向 本章聚焦于当代研究的几个热点方向： 1. 完美空间（Perfectoid Spaces）：对数完美空间在理解数域上模空间和L-函数的特征方面提供的全新视角，特别是在 $p$-进Hodge理论中的应用。 2. 高维BSD猜想的进展：介绍当前对更高秩猜想的数值验证和部分理论突破，如对一般曲线的证明。 3. Motivic Theory：动机理论的概述，它试图建立一个统一的框架来解释代数拓扑、代数K理论和L-函数之间的关系，作为统一几何与算术的终极目标。 总结与展望 本书在代数几何的现代语言（概形、层上同调）和数论的核心问题（费马大定理、BSD猜想）之间搭建了一座坚实的桥梁。通过对这些交叉领域的细致梳理，读者将不仅掌握分析这些复杂问题的必要工具，更能体会到数学各个分支之间深刻的内在和谐性与互补性。本书适合具有扎实的抽象代数、复分析和基础代数拓扑知识的研究生和研究人员作为专业参考书。

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