Homotopy Methods in Topological Fixed And Periodic Points Theory pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:Kluwer Academic Pub

作者:Jezierski, Jerzy/ Marzantowicz, Waclaw

出品人:

页数:319

译者:

出版时间:

价格:1073.00 元

装帧:HRD

isbn号码:9781402039300

丛书系列:

图书标签:

• 拓扑学
• 不动点理论
• 周期点理论
• 同伦方法
• 数学分析
• 泛函分析
• 高级数学
• 拓扑固定点
• 周期映射
• 同伦论

好的，这是一部旨在深入探讨代数拓扑学核心概念的专著的详细简介。 《拓扑同调理论与流形上的不动点与周期点》 图书简介 本书全面而深入地探讨了现代代数拓扑学在研究微分拓扑和几何学中的核心问题——不动点和周期点的理论。全书结构严谨，从基础概念的构建出发，逐步深入到前沿的研究领域，旨在为读者提供一套完整的理论工具和清晰的分析框架。 第一部分：基础的代数拓扑框架 本书的开篇部分致力于奠定必要的代数基础，这对于理解后续的拓扑方法至关重要。我们首先详尽地回顾了同伦群（Homotopy Groups）的构造与基本性质，重点阐述了基本群（$pi_1$）在研究流形上的连通性与“洞”方面的作用。随后，我们系统地介绍了奇异同调理论（Singular Homology Theory）及其对流形结构（如欧拉示性数、贝蒂数）的刻画能力。 一个关键章节集中于同调论在不动点理论中的应用。我们详细阐述了Lefschetz不动点定理的代数拓扑表述，并将其推广至更一般的带边流形情形。这部分内容不仅限于经典的范畴，还引入了更精细的代数结构，如截断同调（Truncated Homology）与相对同调（Relative Homology），用以处理更复杂的映射情形，例如自映射的迭代或映射族。 第二部分：同伦论在不动点理论中的深化 本部分将研究的焦点转向同伦理论本身在不动点问题中的直接作用。我们详细探讨了Hopf不变量（Hopf Invariant）的概念及其在确定映射是否具有不动点时的重要性。通过对纤维丛的分析，我们展示了如何利用同伦群的结构来判定一个连续映射是否可以被连续形变为一个具有固定点的映射。 特别地，本书引入了更高级的同伦工具，如CW复形的构造与映射的分解。我们详细讨论了如何利用障碍上同调理论（Obstruction Cohomology Theory）来系统地解决映射的延拓问题，并将其与不动点存在性问题联系起来。例如，我们将分析球面上的自映射的同伦群，并结合这些信息来推导关于固定点集合拓扑性质的结论。 此外，本书对同伦等价（Homotopy Equivalence）与同伦不动点（Homotopy Fixed Points）进行了细致的区分和探讨。我们阐述了在何种条件下，一个映射的同伦不动点集可以与原映射的实际不动点集相关联，特别是当映射作用于一个具有非平凡基本群的空间时。 第三部分：周期点理论的代数拓扑视角 周期点的研究是本书的另一核心主题。我们首先定义了$m$-周期点问题，即寻找满足 $f^m(x) = x$ 的点 $x$。传统的分析方法常常受到迭代映射的复杂性困扰，而本书则利用代数拓扑的“全局化”视角来克服这一困难。 我们引入了共约不动点定理（Coincidence Fixed Point Theorems）的框架，将其应用于两个映射的复合。随后，我们重点讨论了多重域上的周期点。通过对纤维化的迭代进行分析，我们展示了如何利用同调理论来计算迭代映射的不动点迹（Trace Formulae），并引入了高阶不动点指数（Higher Order Fixed Point Indices）的概念，以区分不同“层次”的周期点。 一个重要的理论工具是李斯-谢弗（Licz-Scheffer）理论的拓扑版本，它将周期点问题转化为对某个特定空间上自同构群的分析。本书详细推导了这些群论结果如何转化为关于周期点数量和分布的信息，特别是对于作用在具有特定结构的流形（如环面或高维纤维丛）上的映射。 第四部分：结合几何与分析的进阶主题 在最后一部分，我们将理论提升到几何和分析的交叉领域。我们探讨了黎曼流形上向量场和保体积映射的周期点问题，引入了兰彻斯特-萨姆森（Lanchaster-Samson）指数的拓扑前身。 本书专门设立章节讨论了环空间（Loop Spaces）上的映射。环空间的研究是理解周期点的天然环境，因为一个映射的周期点恰好对应于其环空间上的不动点。我们利用许瓦尔茨（Schwarzman）型同调理论来分析环空间的同伦群，并结合霍夫同调（Hopf Homology）来研究这些不动点的拓扑性质。 最后，我们简要回顾了这些代数拓扑工具在动力系统（Dynamical Systems）中的应用。重点在于如何利用拓扑不变量来预测系统的长期行为，例如，如何利用同调群的秩来估计周期点的“渐近密度”，尽管这需要与测度论和遍历理论相结合，但本书提供了坚实的拓扑基础，说明为何这些不变量具有这种预测能力。 读者对象 本书适合具有扎实代数拓扑或微分拓扑学背景的研究生和研究人员。它要求读者对基础的范畴论、同调论和同伦论有充分的理解，并期望读者能够将抽象的代数结构与具体的几何问题联系起来。本书亦可作为高级专题研讨课的教材。

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