Abelian Groups, Rings, Modules, And Homological Algebra pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:CRC Pr I Llc

作者:Goeters, Pat (EDT)/ Jenda, Overtoun M. G. (EDT)

出品人:

页数:317

译者:

出版时间:

价格:1544.00 元

装帧:HRD

isbn号码:9781584885528

丛书系列:

图书标签:

• 代数
• 抽象代数
• 群论
• 环论
• 模论
• 同调代数
• 数学
• 高等代数
• 代数结构
• 交换代数

现代代数：结构与应用 前言 本书旨在为读者提供一个严谨而全面的现代代数导论，重点关注群论、环论和域论的基本概念、结构定理及其在数学其他分支中的应用。我们将深入探讨代数结构的本质，从最基础的集合论出发，逐步构建起抽象代数的宏伟蓝图。全书内容编排旨在平衡理论的深度与清晰的阐述，使初学者能够稳步前行，而有经验的读者也能从中找到深入探讨的切入点。 第一部分：基础与群论 本书伊始，我们将回顾必要的预备知识，包括集合论的基本概念、函数、二元关系以及整数环 $mathbb{Z}$ 的基础性质。这些基础将为后续代数结构的引入奠定坚实的基础。 第一章：代数结构与二元运算 本章详细介绍了代数结构的概念，着重于二元运算的性质：封闭性、结合律、交换律以及单位元和逆元的存在性。我们通过具体的例子，如整数加法、矩阵乘法等，来阐明这些性质的直观意义。 第二章：群的基础概念 群是现代代数的核心对象。本章从定义出发，系统地阐述了群的四个基本公理。随后，我们深入讨论群的基本性质，例如单位元的唯一性、逆元的唯一性，以及关于元素幂次的性质。子群的概念及其判定准则将被详细介绍。我们还将探讨左陪集和右陪集，这是理解商群构造的关键工具。 第三章：同态、同构与群的结构 本章的重点在于群之间的映射关系。我们定义了群同态和群同谋，并证明了它们在保持群结构方面的关键作用。同构的概念被引入，用以区分在结构上等价的群。第一同构定理是本章的高潮，它揭示了商群与同态像之间的深刻联系。 第四章：循环群与有限群 循环群作为最简单的非平凡群，其结构具有完全的确定性，即所有循环群都同构于 $mathbb{Z}$ 或 $mathbb{Z}_n$。本章将彻底分析循环群的子群结构。随后，我们将转向有限群的研究。拉格朗日定理是研究有限群阶数的基石，我们将详尽证明并探讨其推论，包括柯西定理和西洛夫第一定理的初步介绍（不涉及模论）。 第五章：特殊群的应用与结构分解 本章将群论的应用扩展到更复杂的结构。我们引入正规子群的概念，并利用它来构造商群。正规子群是实现“分解”群结构的关键。随后，我们将探讨直积和半直积，这两种方法允许我们将一个复杂的群分解为更简单的群的组合。重点讨论了有限阿贝尔群的结构（仅作为群论的一部分，不涉及模论的深度分析）。 第六章：群作用与置换群 群作用（或群的表示）是连接抽象群与具体集合操作的桥梁。我们定义了群作用，并引入轨道和稳定子的概念。轨道-稳定子定理是分析群作用复杂度的强大工具。置换群作为最具体的群实例，其性质，特别是交错群 $A_n$ 的性质，将被详细分析，为伽罗瓦理论提供必要的背景知识。 第二部分：环与域 在掌握了群论的基本原理后，本书转向具有两个二元运算的代数结构——环。 第七章：环的基础结构 本章定义了环，并明确区分了交换环、单位环以及整环。零因子、零因子域、单位元素和可逆元素是本章的核心概念。我们将考察如 $mathbb{Z}$、多项式环 $mathbb{F}[x]$ 和矩阵环等典型例子。 第八章：理想与商环 类似于群中的子群，环中的“理想”扮演着分解环结构的关键角色。本章定义了理想，并区分了两侧理想和双边理想（在交换环中两者等价）。我们构造了商环，并阐述了环的同态和第一同构定理的对应物。素理想和极大理想的概念被引入，它们是后续讨论域和整环性质的基础。 第九章：整环的结构与域 本章深入研究了整环的性质。我们定义了分式域，并证明了每个整环都具有一个唯一的分式域。域被定义为非零元素构成乘法群的特殊交换环。我们将讨论域的重要例子，如有限域（素数域和伽罗瓦域的初步介绍）。 第十章：多项式环与唯一因子域 多项式环 $F[x]$ 的研究是本章的重点。我们将讨论多项式环中的带余除法，并证明其具有欧几里得整环的性质。整环的几个重要分类：欧几里得整环、主理想整环（PID）和唯一因子域（UFD）将被定义并相互关联。我们将证明 $mathbb{Z}$ 和 $F[x]$ 都是 PID，并探讨何种类型的整环是 UFD。 第十一章：环同构与特定环的结构 本章将利用同构理论来分析特定环的结构，例如对偶环和多项式环的商环。我们将分析由特定理想生成的环，例如 $mathbb{Z}_n$ 的结构。这些分析将深化读者对不同环之间结构关系的理解。 结论与展望 本书的结构旨在为读者打下坚实的抽象代数基础。通过对群、环和域的系统学习，读者将获得分析和解决复杂数学问题的强大工具。后续更高级的主题，如模论、同调代数或更深入的伽罗瓦理论，都建立在这些坚实的基础之上。本书的叙事风格力求清晰、逻辑连贯，旨在激发读者对数学结构美感的欣赏。

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