Semigroups And Automata pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:Ios Pr Inc

作者:Peetre, J. (EDT)/ Penjam, J. (EDT)

出品人:

页数:500

译者:

出版时间:

价格:178

装帧:HRD

isbn号码:9781586035822

丛书系列:

图书标签:

• Semigroups
• Automata Theory
• Formal Languages
• Discrete Mathematics
• Computer Science
• Theoretical Computer Science
• Algebraic Structures
• Mathematical Logic
• Algorithms
• Computation

《半群与自动机》内容简介（不含原书内容） 书名：代数拓扑学中的群与环结构 作者：[此处留空，或用一个虚构的资深数学家姓名] 出版社：[此处留空，或用一个专业学术出版社名称] --- 导言：结构、变换与空间的统一视角 本书旨在为高等数学和理论物理专业的学生及研究人员提供一个深入且全面的视角，探讨代数结构如何在拓扑空间的研究中发挥核心作用。我们聚焦于代数拓扑学的两大支柱——群论与环论——是如何被用来分析和分类复杂几何对象的内在属性。不同于传统的侧重于计算的方法，本书强调概念的几何直观性与代数形式的严谨性之间的桥梁构建。 第一部分：基础拓扑与代数预备 本部分将系统回顾必要的预备知识，为后续深入探讨打下坚实的代数基础。 第一章：拓扑空间的代数化 1.1 基础拓扑概念回顾：连通性、紧致性与分离公理。我们将从更具结构性的角度重新审视这些概念，强调它们在构建代数不变量时的重要性。 1.2 连续映射与同胚的代数特征：分析哪些拓扑性质能够在连续映射下保持不变，并引入同伦群（Homotopy Groups）的初步概念，作为衡量空间“洞”的代数工具。 1.3 范畴论基础：作为连接不同数学领域的通用语言，范畴论的引入将帮助读者理解同调论中函子（Functors）的作用，特别是从拓扑范畴到代数范畴的映射。 第二章：基本群与覆盖空间 2.1 基本群（Fundamental Group）：详细阐述 $pi_1(X, x_0)$ 的构造、运算（路径乘法）及其性质。着重分析其在区分不同连通空间中的能力。 2.2 覆叠空间理论（Covering Space Theory）：这是连接拓扑与群论的关键环节。我们将深入探讨万有覆叠空间（Universal Cover）的存在性与唯一性，以及基本群与覆叠空间之间深刻的同构关系。 2.3 分类空间与布束：将基本群提升到更一般的布束（Fibrations）理论的框架下讨论，引入纤维丛（Fiber Bundles）的初步概念，为后续的李群应用做铺垫。 第二部分：同调论：洞察复杂结构的量化工具 本部分的核心在于将拓扑空间“分解”为一系列可计算的代数对象，即同调群（Homology Groups）。 第三章：链复形与链同调 3.1 链复形（Chain Complexes）的构建：从单纯复形（Simplicial Complexes）出发，系统构造链群 $C_n(X)$，并定义边界算子 $partial_n$。重点分析 $partial_{n} circ partial_{n+1} = 0$ 这一关键性质。 3.2 同调群的定义与性质：基于 $H_n(X) = ext{Ker}(partial_n) / ext{Im}(partial_{n+1})$，详细计算欧几里得空间、球面以及环面的同调群。 3.3 拓扑不变量的代数实现：展示同调群如何作为拓扑不变量，证明球面与环面之间不存在同胚，因为它们的同调群结构不同。 第四章：奇异同调与函子 4.1 奇异链与奇异同调（Singular Homology）：推广到一般的拓扑空间，定义奇异单体和奇异链复形，确保理论的普适性。 4.2 正合序列与迈耶-维托里斯序列（Mayer-Vietoris Sequence）：这是同调论中最强大的计算工具之一。我们将通过严格的代数推导，展示如何利用分解的子空间来计算整体空间的同调群。 4.3 同调论的函子性质：探讨上同调（Cohomology）的概念作为对偶，并引入张量积与 $ ext{Ext}$ 函子在代数拓扑中的作用。 第三部分：环结构与微分几何的交汇 本部分将代数结构推向更高的抽象层次，引入环（Rings）的概念，并将其应用于微分几何的语言中。 第五章：李群与李代数 5.1 群的几何化：从矩阵群出发，引入李群的概念，即既是群又是光滑流形（Smooth Manifolds）的结构。 5.2 李代数的诞生：定义李括号 $[cdot, cdot]$，并阐述李代数作为李群在单位元处的切空间的重要性。探讨指数映射（Exponential Map）如何连接李群与李代数。 5.3 表示论基础：研究李群在线性空间上的表示（Representations），特别是对于紧致群（如 $SU(2)$ 和 $SO(3)$）的不可约表示，这在量子力学中具有基础意义。 第六章：微分形式与德拉姆上同调 6.1 微分形式的代数结构：定义 $k$-形式，微分运算 $d$，并分析 $d^2 = 0$ 的深刻含义，这与链复形中 $partial^2 = 0$ 具有形式上的对应性。 6.2 德拉姆上同调群（de Rham Cohomology）：定义闭微分形式模（Exact Forms）的商空间 $H_{ ext{dR}}^k(M)$。 6.3 德拉姆定理：本书的亮点之一，严格证明德拉姆上同调群与奇异上同调群之间的自然同构关系。这标志着纯代数结构（同调群）与微分几何对象（微分形式）的完美统一。 结论：代数结构在现代物理中的展望 本书最后总结了这些代数结构如何渗透到现代数学和物理学的核心领域，包括代数K理论、K-理论的索引定理，以及在规范场论中对纤维丛的拓扑分析。它强调了理解群、环以及它们在拓扑空间上的作用，是掌握高级数学工具的基石。 目标读者群体： 深入学习代数拓扑学、微分几何或理论物理的高年级本科生、研究生及专业研究人员。本书假定读者对线性代数、抽象代数（群论基础）和基础微积分有扎实的掌握。

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