A Survey of Mathematics with Applications pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:Addison-Wesley

作者:Angel, Allen R./ Abbott, Christine D./ Runde, Dennis C.

出品人:

页数:939

译者:

出版时间:

价格:134.67

装帧:HRD

isbn号码:9780321206008

丛书系列:

图书标签:

• 数学
• 应用数学
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• 理工科

《多元宇宙的几何与拓扑：结构、维度与实在的边界》 一本深入探索空间、形状和结构本质的学术专著 作者： [此处可虚构一位著名数学家或研究团队] 出版社： [此处可虚构一家著名学术出版社] --- 简介 《多元宇宙的几何与拓扑：结构、维度与实在的边界》是一部宏大、深邃的学术巨著，它将引领读者穿越纯粹数学中最具想象力且最为严谨的领域——几何学（Geometry）与拓扑学（Topology）的交汇点。本书并非对初等算术或应用微积分的简单复述，而是聚焦于现代数学理论的顶层结构，探讨空间本身的内在属性、维度如何被定义，以及我们在理解物理实在过程中所依赖的数学框架的深层逻辑。 全书的构建旨在揭示一个核心思想：空间不仅仅是物体存在的位置，它本身就是一种可以被严格分析和分类的数学对象。 本书的核心内容围绕以下几个相互关联的复杂主题展开： --- 第一部分：古典几何的范式转变与黎曼空间的确立 本部分追溯了欧几里得几何学从其公理体系向更具广度与灵活性的现代框架演变的历程。我们不再将平面和三维空间视为唯一的实在，而是将焦点转向黎曼几何的建立。 1.1 非欧几何的哲学与代数基础： 深入分析了罗巴切夫斯基、高斯和黎曼如何系统性地挑战第五公设，并构建出具有负曲率（双曲）和正曲率（椭圆）的几何空间。这一转变是数学思维从“直观实在”到“公理化结构”的关键一步。 1.2 黎曼流形与度量张量： 本章详细阐述了微分几何的核心工具——流形的概念。流形是局域上看起来像欧几里得空间的拓扑空间，但整体上可以具有复杂的曲率结构。我们将严格定义度量张量（Metric Tensor），这是赋予流形长度、角度和距离概念的关键工具。我们将探索测地线（Geodesics）的性质，即空间中“最短路径”的概念，并展示它们如何成为描述弯曲时空（如广义相对论的背景）的基础。 1.3 联络与曲率的内在化： 本部分将超越简单的表面曲率，探讨更抽象的曲率概念，例如黎曼曲率张量（Riemann Curvature Tensor）。我们将讨论如何使用联络（Connection）来定义向量场在流形上平行移动的规则，从而揭示空间内在的非平坦性。我们将分析各种重要的曲率不变量，如斯凯勒曲率（Scalar Curvature）和里奇曲率（Ricci Curvature），它们在理论物理学中扮演着至关重要的角色。 --- 第二部分：拓扑学的核心——不变量、形变与分类 本部分将几何学的“度量”概念暂时搁置，转而关注拓扑学——研究那些在连续形变（拉伸、扭曲，但不撕裂或粘合）下保持不变的属性。拓扑学关注的是“洞”、“连通性”和“界限”这些本质特征。 2.1 基础拓扑结构与连续性： 本章从集合论的视角出发，严格定义开集、闭集、紧致性（Compactness）和连通性（Connectedness）。我们将引入同胚（Homeomorphism）的概念，这是拓扑学中最核心的等价关系，它允许我们将甜甜圈和咖啡杯视为同一类对象，而将球体和甜甜圈区分开来。 2.2 同伦论：研究“洞”的代数方法： 这是理解复杂拓扑空间结构的关键分支。我们将介绍基本群（Fundamental Group），它捕获了一个空间中所有不收缩的循环的集合。通过计算高维空间的同伦群，我们可以区分出具有不同拓扑性质的空间。本书将详细分析球面、环面以及更高维环面的同伦群计算，展示如何利用这些代数不变量来证明著名的拓扑定理。 2.3 同调论：更高维度的“洞”与积分几何： 随着维度增加，同伦论的计算变得极其复杂。同调论提供了一种更具系统性和计算性的方法来探测拓扑空间的“空腔”。我们将深入探讨链复形、边界算子和同调群的构造。特别地，我们将展示德拉姆上同调（De Rham Cohomology）如何完美地桥接微分几何与拓扑学，将曲率和积分的概念引入到拓扑分类之中，这是连接本篇第一部分和第二部分的核心桥梁。 --- 第三部分：流形上的分析与微分方程 几何和拓扑学的抽象概念必须与分析工具相结合，才能在物理学和现代数学中发挥其实际效力。本部分聚焦于在弯曲空间背景下进行微积分和求解偏微分方程（PDE）。 3.1 向量场、张量场与协变导数： 在弯曲空间中，传统的偏导数失去了意义，因为它们依赖于一个固定的坐标系。本书将引入协变导数（Covariant Derivative），它允许我们在不同的点之间“合法地”比较向量，这是在流形上进行微分运算的必要工具。我们将详细分析流形上的积分，并引入霍奇理论（Hodge Theory）的初步概念，研究拉普拉斯算子在黎曼流形上的性质。 3.2 规范理论与纤维丛： 现代物理学的核心——粒子物理学的规范对称性——在数学上被精确地描述为纤维丛（Fiber Bundles）的概念。我们将引入主丛和向量丛，以及如何定义作用于这些丛上的联络（即规范场）。我们将探讨杨-米尔斯理论（Yang-Mills Theory）的几何基础，展示如何使用这些工具来描述基本相互作用的数学结构。 3.3 拓扑与几何的极端交汇：阿蒂亚-辛格指标定理 本书的高潮将是深入探讨阿蒂亚-辛格指标定理（Atiyah-Singer Index Theorem）。该定理是20世纪最伟大的数学成就之一，它以一种惊人的方式将拓扑学的不变量（如陈类）与椭圆算子的分析性质（指标）联系起来。我们将解释该定理的几何直觉，展示它如何证明了在弯曲时空中，某些微分算子的解的存在性和维度是如何由空间的拓扑结构完全决定的，从而统一了不同数学分支的力量。 --- 结论与前沿展望 本书最后将简要回顾现代几何学和拓扑学如何渗透到理论物理学的各个角落，从弦理论中的卡拉比-丘流形（Calabi-Yau Manifolds）到宇宙学中的时空拓扑结构。它旨在为高级研究人员和研究生提供一个坚实的平台，使其能够自信地应对这些领域中最具挑战性的问题。 本书适合对象： 具备扎实的微积分、线性代数和抽象代数基础的数学、理论物理学及相关工程领域的研究生和专业人士。

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