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《力学基础与理论应用：从经典到现代》 内容简介 本书旨在为物理学、应用数学及相关工程学科的学生和研究人员提供一个全面且深入的力学理论基础，并系统地阐述这些理论在现代科学中的应用。不同于侧重于某一特定分支（如经典的分析力学或专门的固体力学）的教材，本书采取了一种综合性的方法，将经典力学的核心原理与现代物理学中必需的数学工具和视角紧密结合。 全书结构清晰，逻辑严谨，内容覆盖面广，力求在理论深度和实际应用之间找到最佳的平衡点。 --- 第一部分：经典力学的核心框架与分析工具 本部分将读者从牛顿力学的直观图像引导至更抽象、更普适的分析力学框架。 第一章：运动学的几何基础与刚体描述 本章首先回顾了欧几里得空间中的运动学概念，但重点在于引入更强大的数学工具——张量分析。我们详细探讨了空间旋转的描述，包括旋转矩阵、欧拉角（及其固有的奇点问题），并引入了四元数作为描述三维旋转的更简洁高效的工具。刚体运动的描述将从基矢的演化入手，过渡到欧拉运动方程，为后续的拉格朗日和哈密顿力学做好准备。重点分析了惯性张量及其主轴的物理意义。 第二章：变分原理与拉格朗日力学 本章是通往现代力学的关键一步。我们将从变分法的基础——欧拉-拉格朗日方程的推导开始。随后，重点构建拉格朗日量 $L = T - V$，并详尽讨论了约束条件的处理，特别是拉格朗日乘子法在处理非完整约束时的应用。系统地分析了守恒量（如能量、动量和角动量）的导出，以及诺特定理在连贯系统中的应用——这不仅是理论的优雅展示，也是解决实际问题的强大工具。对涉及时间依赖势场的系统，如电磁场中的带电粒子，进行了深入的拉格朗日分析。 第三章：正则变换与哈密顿力学 本章将拉格朗日力学提升到相空间的概念。我们详细推导了哈密顿正则方程，并深入探讨了正则变换的性质，包括辛结构和生成函数。泊松括号的引入是理解相空间动力学的核心，它将微分方程转化为代数关系，为与量子力学的类比奠定了基础。本章还将分析相空间的流和李维尔定理，阐明宏观系统的演化特性。 第四章：微扰理论与近似解法 在许多实际物理问题中，精确求解运动方程是不可能的。本章专注于处理微小扰动下的系统。我们将系统地介绍定态微扰理论和含时微扰理论。对于定态问题，包括简并和非简并情况下的能量和波函数的修正将被详细推导和应用。含时微扰理论则侧重于过渡概率的计算，特别是费米黄金定则的应用，这在原子跃迁和散射理论中至关重要。此外，还将简要介绍半经典近似方法，如WKB近似。 --- 第二部分：连续介质的动力学与场论基础 本部分将焦点从孤立粒子的力学扩展到具有无穷多自由度的物理系统，即连续介质的描述。 第五章：弹性理论基础与波的传播 本章首先建立应力张量和应变张量的定义，并推导出描述线弹性材料本构关系的广义胡克定律。重点分析了在小形变假设下的拉梅方程，并求解了最基本的边界值问题，如拉伸、弯曲和扭转。随后，系统地分析了介质中的弹性波——纵波（P波）和横波（S波）的传播特性，并讨论了色散和吸收对波形的影响。 第六章：流体力学：粘性与不可压缩性 本章从流体的微元分析入手，推导出描述流体运动的连续性方程和动量方程（Navier-Stokes方程）。我们将区分理想流体和粘性流体，并着重分析粘性对边界层现象的影响。对经典模型，如Stokes流（低雷诺数）和湍流的初步概念也将进行介绍。此外，还将分析流体动力学的能量方程，以及涉及表面张力的现象。 第七章：场论的数学结构：拉格朗日场论 本章将力学的分析方法推广到场论的框架。我们将定义场量和其密度，并构建场的拉格朗日量密度。通过对场变量进行变分，推导出欧拉-拉格朗日场方程。本章将深入探讨场论中的连续对称性、诺特定理的推广形式，以及守恒流（如能量-动量张量）的导出。这是理解经典电磁场和量子场论的必要桥梁。 --- 第三部分：相对论与现代物理的视角 本部分将力学框架置于狭义相对论的背景下，并探讨其在高速粒子和量子现象中的体现。 第八章：狭义相对论力学 本章从洛伦兹变换的几何结构出发，推导出相对论动量和能量的修正形式。重点在于建立四维动量和四维力，并推导相对论性的牛顿第二定律。相对论性碰撞、粒子衰变等问题的处理将贯穿本章。相对论性能量、动量与质量的关系 ($ ext{E}^2 = ( ext{pc})^2 + ( ext{m}_0 ext{c}^2)^2$) 将得到详尽的证明和应用。 第九章：经典电动力学与麦克斯韦方程组 虽然本书不是专门的电动力学教材，但经典的场方程是理解现代物理力的关键。本章将以场论的视角重述麦克斯韦方程组。重点在于如何用四维势（标量势和矢量势）来简洁地表示这些方程。相对论性的电磁场变换，以及电磁场张量 $F^{mu
u}$ 的构建，将展示电磁学与狭义相对论的内在统一性。洛伦兹力定律在四维形式下的表述也将被重点分析。 --- 总结与展望 全书通过循序渐进的结构，从分析力学的严谨性出发，扩展到连续系统的复杂性，最终融入狭义相对论的框架。本书的特点在于强调数学工具（如张量、变分法、泊松括号）在统一不同物理领域中的作用，旨在培养读者建立跨学科、高层次的物理直觉和解决问题的能力。每一章后都附有具有挑战性和启发性的习题，以巩固理论学习并鼓励深入探索。
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