Structure of Hilbert Space Operators pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:World Scientific Pub Co Inc

作者:Jiang, Chunlan

出品人:

页数:260

译者:

出版时间:2006-3

价格:709.00元

装帧:HRD

isbn号码:9789812566164

丛书系列:

图书标签:

• Math
• Hilbert Space
• Operator Theory
• Functional Analysis
• Spectral Theory
• Self-Adjoint Operators
• Compact Operators
• Bounded Operators
• Unbounded Operators
• Non-commutative Harmonic Analysis
• Mathematical Physics

《泛函分析导论：从线性空间到算子理论的桥梁》 本书旨在为数学、物理学以及工程学领域的研究者和高年级学生提供一个全面而深入的泛函分析基础。我们致力于构建一个坚实的理论框架，从最基本的线性代数概念出发，逐步过渡到现代数学中至关重要的拓扑向量空间、度量空间以及度量空间上的分析。全书结构清晰，逻辑严谨，力求在保证数学严密性的同时，兼顾概念的可理解性。 第一部分：基础的奠基——度量、拓扑与完备性 本部分着重于建立分析学所需的基本拓扑和度量结构。 第一章：度量空间的几何 我们从度量空间的定义出发，详细探讨了开集、闭集、稠密性、完备性和紧致性等核心概念。通过引入巴拿赫空间（Banach Spaces）这一最基础的完备线性赋范空间，我们为后续的分析工具做好了准备。重点讨论了序列收敛的拓扑性质，以及紧集的特征。引入了Contraction Mapping Theorem (Banach Fixed Point Theorem)，展示了其在微分方程解的存在性与唯一性证明中的强大应用。对有限维赋范空间与无限维赋范空间性质的对比分析贯穿本章始终。 第二章：拓扑向量空间与局部凸性 本章将度量和范数推广到更一般的拓扑向量空间。我们定义了拓扑向量空间的基本结构，并深入研究了拓扑的生成机制，特别是利用半范数（Seminorms）来定义拓扑。局部凸性（Local Convexity）被引入，这不仅是泛函分析中的一个关键概念，也是后续讨论Hahn-Banach定理的必要前提。讨论了拓扑的定义如何影响向量的收敛性，并引入了Tychonoff’s Theorem在函数空间上的应用背景。 第二章的亮点在于对Fréchet微分和Differentiability in Topological Vector Spaces的初步探讨，为理解更复杂的函数空间上的分析打下基础。 第二部分：经典空间与核心定理 本部分聚焦于最常用和最重要的几类函数空间，并阐述泛函分析中的三大基石定理。 第三章：$L^p$ 空间与Minkowski不等式 详细构建了 $L^p(Omega)$ 空间，其中 $Omega$ 可以是测度空间或流形。重点论述了 Minkowski 不等式的严谨证明及其在证明三角不等式中的关键作用。通过严格的测度论工具（假设读者对勒贝格积分有基本了解），我们证明了 $L^p$ 空间的完备性，确立了它们作为巴拿赫空间的重要性。对 $oldsymbol{p=1}$ 和 $oldsymbol{p=infty}$ 的特殊性质进行了深入分析。 第四章：内积空间与希尔伯特空间的前奏 虽然本书的重点不完全集中于正交结构，但内积空间是理解算子理论的必要跳板。本章介绍了内积（或称标准）的定义，引入了Cauchy-Schwarz 不等式。随后，我们定义了希尔伯特空间（Hilbert Spaces）作为完备的内积空间，并深入分析了其正交分解定理 (Orthogonal Projection Theorem)。对正交补（Orthogonal Complements）和最小范数解的讨论，为后续的优化问题提供了代数和几何直觉。 第五章：三大支柱定理 本章是本书的理论核心。我们以严谨的逻辑链条，分别阐述了： 1. Hahn-Banach 定理：从实值到复值，再到无穷维空间的推广，着重分析其在构造特定线性泛函中的作用。 2. Uniform Boundedness Principle (Banach-Steinhaus Theorem)：通过精妙的反证法，揭示了逐点有界性与一致有界性之间的深刻联系。 3. Closed Graph Theorem & Open Mapping Theorem：这两者互为对偶，我们首先证明了闭图像定理，然后利用对偶性推导出开映射定理。对这些定理在线性映射连续性判断中的应用进行了详尽的案例分析。 第三部分：对偶性与强力工具 本部分探索了函数空间的对偶结构，这是连接分析、几何和代数的关键桥梁。 第六章：有界线性泛函与对偶空间 我们定义了拓扑向量空间 $X$ 的连续对偶空间 $X^$，并研究了其范数结构。重点研究了 $L^p$ 空间的对偶：利用 Hölder 不等式，我们证明了 $L^p$ 空间的对偶空间是 $L^q$ 空间（对于 $1 < p < infty$）。对 $L^1$ 和 $L^infty$ 空间对偶性的微妙处理是本章的难点和重点。 第七章：Riesz 表示定理及其几何意义 本章的核心是Riesz Representation Theorem在希尔伯特空间中的精确表述。我们展示了如何将连续线性泛函与特定的向量关联起来，强调了这种关联在无限维空间中几何直觉的恢复作用。随后，本书对Riesz-Markov-Kakutani 定理在有限维测度空间上的推广进行了概述，展示了其在概率论和随机过程中的深远影响。 第八章：强收敛、弱收敛与极化 本章区分了函数空间中不同类型的收敛性。我们详细分析了强收敛（范数收敛）、弱收敛（泛函收敛）和弱星收敛（对偶空间收敛）之间的关系。通过具体的函数序列例子（如狄拉克核的逼近），展示了弱收敛在积分运算中保持某些特性（如积分的线性性），而强收敛不一定保持（如某些极限运算的交换性）。 总结与展望 本书旨在提供一个坚实、自洽的泛函分析基础，重点放在拓扑向量空间、完备性、三大定理以及对偶结构上。通过对经典 $L^p$ 空间和希尔伯特空间的深入剖析，读者将为进一步研究算子理论（如谱理论、C-代数）或应用数学（如变分法、PDE的弱解理论）做好充分准备。本书的叙述风格侧重于几何直觉的培养与数学证明的严密性的平衡，避免了不必要的繁琐细节，聚焦于核心概念的构建。 --- (总字数：约1500字)

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