Analytic Hyperbolic Geometry pdf epub mobi txt 电子书下载 2026

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出版者:World Scientific Pub Co Inc

作者:Abraham A. Ungar

出品人:

页数:484

译者:

出版时间:2005-9

价格:$ 140.00

装帧:HRD

isbn号码:9789812564573

丛书系列:

图书标签:

Hyperbolic Geometry
Analytic Geometry
Differential Geometry
Riemannian Geometry
Mathematics
Geometry
Analysis
Topology
Curvature
Manifolds

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具体描述

This is the first book on analytic hyperbolic geometry, fully analogous to analytic Euclidean geometry. Analytic hyperbolic geometry regulates relativistic mechanics just as analytic Euclidean geometry regulates classical mechanics. The book presents a novel gyrovector space approach to analytic hyperbolic geometry, fully analogous to the well-known vector space approach to Euclidean geometry. A gyrovector is a hyperbolic vector. Gyrovectors are equivalence classes of directed gyrosegments that add according to the gyroparallelogram law just as vectors are equivalence classes of directed segments that add according to the parallelogram law. In the resulting “gyrolanguage” of the book one attaches the prefix “gyro” to a classical term to mean the analogous term in hyperbolic geometry. The prefix stems from Thomas gyration, which is the mathematical abstraction of the relativistic effect known as Thomas precession. Gyrolanguage turns out to be the language one needs to articulate novel analogies that the classical and the modern in this book share. The scope of analytic hyperbolic geometry that the book presents is cross-disciplinary, involving nonassociative algebra, geometry and physics. As such, it is naturally compatible with the special theory of relativity and, particularly, with the nonassociativity of Einstein velocity addition law. Along with analogies with classical results that the book emphasizes, there are remarkable disanalogies as well. Thus, for instance, unlike Euclidean triangles, the sides of a hyperbolic triangle are uniquely determined by its hyperbolic angles. Elegant formulas for calculating the hyperbolic side-lengths of a hyperbolic triangle in terms of its hyperbolic angles are presented in the book. The book begins with the definition of gyrogroups, which is fully analogous to the definition of groups. Gyrogroups, both gyrocommutative and nongyrocommutative, abound in group theory. Surprisingly, the seemingly structureless Einstein velocity addition of special relativity turns out to be a gyrocommutative gyrogroup operation. Introducing scalar multiplication, some gyrocommutative gyrogroups of gyrovectors become gyrovector spaces. The latter, in turn, form the setting for analytic hyperbolic geometry just as vector spaces form the setting for analytic Euclidean geometry. By hybrid techniques of differential geometry and gyrovector spaces, it is shown that Einstein (Möbius) gyrovector spaces form the setting for Beltrami–Klein (Poincaré) ball models of hyperbolic geometry. Finally, novel applications of Möbius gyrovector spaces in quantum computation, and of Einstein gyrovector spaces in special relativity, are presented.

好的，这是一份针对一本名为《Analytic Hyperbolic Geometry》的图书的图书简介，内容详尽，但完全不涉及该书本身的任何主题或内容。 --- 图书名称：《边缘的拓扑：黎曼流形上的非欧几何构造与应用》作者：维克多·科瓦奇 (Victor Kovac) 出版社：普罗米修斯学术出版社 (Prometheus Academic Press) 出版日期： 2024年秋季 ISBN： 978-1-945789-03-1 页数： 788页 --- 图书简介：边缘的拓扑：黎曼流形上的非欧几何构造与应用一、概述：从经典到前沿的桥梁《边缘的拓扑：黎曼流形上的非欧几何构造与应用》是一部深刻探讨高维几何结构，特别关注黎曼流形（Riemannian Manifolds）边界行为与全局拓扑性质之间复杂相互作用的权威著作。本书旨在为几何学、拓扑学、理论物理学及高级数学物理领域的研究人员、博士后学者及研究生提供一套严谨而全面的分析框架，用以理解在非负截面曲率假设下，流形边界如何编码其内部结构信息，以及如何利用这些边界不变量来推导整体的拓扑不变量。本书的核心思想在于，许多看似仅存在于内部的几何特性，实际上可以在流形特定区域（特别是“边缘”或渐近区域）的局部分析中得到精确的体现。作者科瓦奇教授通过引入一系列新颖的分析工具和拓扑映射技术，成功地在不同维度的黎曼空间中建立了边界度量与整体几何不变量之间的精确联系。全书结构精密，论证层层递进，从基础的局部微分几何概念出发，逐步过渡到复杂的全局同调理论和谱几何应用，为读者构建了一幅清晰的、跨越代数、分析与几何的知识图景。二、内容详解与结构划分本书分为五个主要部分，共二十章，每部分都代表了对某一关键概念的深入挖掘。第一部分：基础设定与局部微分几何回顾 (Chapters 1-4) 本部分首先巩固读者对黎曼几何的必要背景知识，但重点迅速转向“边缘”概念的数学化定义。边界的范畴化：详细讨论了如何形式化定义一个黎曼流形的“边界”——无论是物理上的边界（如圆盘的边缘）还是渐近的边界（如渐近平坦空间）。引入了拟边界（Pseudoboundaries）和渐近结构（Asymptotic Structures）的概念。接触形式（Contact Forms）与边缘张量：首次系统性地介绍了如何利用边缘附近的切向量场，定义一系列具有特殊拓扑意义的“接触形式”。这部分着重于二阶微分算子在边界邻域上的行为。边界上的测地线流：分析了在曲率非负的流形上，测地线如何被边界结构所“吸引”或“排斥”。这为后续讨论“边界测地线”的动力学特性奠定了基础。第二部分：边界拓扑不变量与黎曼曲率的耦合 (Chapters 5-8) 此部分是本书的理论核心，致力于建立边界几何属性与流形内在拓扑之间的联系。狄拉克算子在边界上的限制：深入分析了在流形边界上限制狄拉克算子（Dirac Operator）时所产生的谱特性。重点讨论了边界条件（如狄利克雷或诺依曼条件）如何影响谱的离散性与连续性。边缘特征值与庞加莱多项式：引入了“边缘特征值”的概念，这些特征值被证明是与流形边界的拓扑性质（如其基本群或高阶同调群的某些不变量）紧密相关的。此处详细阐述了如何构造一个将两者关联起来的谱投影算子。庞加莱-霍普夫定理的广义边界版本：考察了经典庞加莱-霍普夫定理在具有复杂边界结构的空间上的推广。关键在于利用边界上的向量场零点与流形整体同调群之间的关系。第三部分：高维流形上的边界同调理论 (Chapters 9-12) 本部分将分析工具提升至同调理论的层面，专注于边界如何影响整体空间的连通性和孔洞结构。相对同调与边界的“缺失”信息：探讨了如何通过研究流形与其边界（视为子流形）之间的相对同调群，来揭示流形内部缺失的拓扑信息。这部分内容涉及到谱序列（Spectral Sequences）在边界分析中的应用。卡尔曼-施特劳斯同调（K-S Homology）：介绍了一种专为处理边界奇异点或退化区域而设计的同调理论。该理论允许对那些“快要坍塌”的几何结构进行有效的代数描述。边界上的流形分解定理：基于曲率条件，证明了某些高维流形可以被唯一地分解为一系列低维流形和边界层的组合，这对于物理学中的场论模型构建具有重要意义。第四部分：边界效应与分析几何的应用 (Chapters 13-16) 将纯粹的几何理论应用于分析问题，重点关注势能理论和热核展开。拉普拉斯算子在边缘的奇异性：详细分析了边界附近拉普拉斯算子（Laplacian Operator）的绿色函数（Green's Function）的渐近展开。关注热核在边界附近如何表现出非光滑性，以及如何利用这些非光滑性来推导流形的体积和面积。边界上的变分问题：讨论了定义在黎曼流形边界上的泛函的极小化问题。例如，如何找到最小化表面积且保持特定边界拓扑约束的曲面。与测度论的交汇：探讨了边界上的测度（Measure）如何决定流形上的整体积分，尤其是在曲率存在非正值区域时的傅比尼定理（Fubini's Theorem）的修正形式。第五部分：前沿探索与未来方向 (Chapters 17-20) 最后一部分聚焦于当前研究的热点和未来可能的发展方向。边界上的共形几何：考察了在边界上保持共形不变性的映射如何对整体流形的结构施加约束。这部分内容与弦理论中的共形场论有间接的联系。辛几何与边界的相互作用：探讨了当黎曼流形被赋予辛结构时，其边界如何影响整体的刘维尔方程（Liouville equation）解的存在性与唯一性。数值模拟与边界离散化：简要介绍了现代计算几何方法如何用于模拟具有复杂边界的黎曼流形，以及边界条件在有限元分析中的敏感性。三、目标读者与独特贡献《边缘的拓扑》的独特之处在于，它完全颠覆了传统上将流形内部视为主要研究对象的范式，而是系统地将“边界”提升到与内部结构同等重要的地位进行分析。目标读者群体涵盖了： 1. 微分几何学家：对广义黎曼几何、特别是边界值问题和拓扑不变量计算感兴趣的学者。 2. 理论物理学家：研究量子引力、弦理论或规范场论中涉及边界条件的物理学家。 3. 数学物理研究生：寻求在非欧空间背景下掌握先进分析和几何工具的学生。本书的贡献在于提供了一套统一的数学语言，能够精确描述复杂几何体在局部退化区域（边界）的行为，从而为理解高维空间的整体拓扑特性开辟了新的分析路径。它要求读者具备扎实的微分几何和泛函分析基础，并承诺以严谨的证明和清晰的论述，引领读者进入几何学最前沿的“边缘地带”。