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Students will get more out of Elementary and Intermediate Algebra through George Woodbury's concise narrative and focused topic flow. By writing this text from the ground up as a single textbook, George has reduced the amount of overlap typically found in these courses and focused instead on providing more exercises and applications. As a result, your students will be better prepared for higher-level mathematics courses.
数学基础与进阶：构建坚实的代数思维框架 图书名称：数学基础与进阶 图书简介： 本书《数学基础与进阶》旨在为读者提供一个全面、深入且实用的代数知识体系，它不仅仅是知识点的罗列，更是一套精心设计的思维训练路径。本书的设计初衷是服务于那些渴望从根本上理解代数原理、并能将这些工具灵活应用于解决实际问题的学习者。我们深知，代数是所有高等数学分支，乃至科学、工程、经济学等领域不可或缺的基石。因此，本书的结构力求逻辑严密、循序渐进，确保读者在掌握基础概念的同时，能够稳步迈向更复杂的抽象思维。 全书共分为两大部分，涵盖了从初级代数的核心概念到中级代数中更具挑战性的主题。我们摒弃了传统教材中枯燥的理论堆砌，转而采用“问题驱动，概念内化”的教学方法。 --- 第一部分：代数思维的奠基——基础代数精要 本部分聚焦于构建稳固的代数运算基础，确保读者对变量、表达式和基本方程的理解达到炉火纯青的地步。 第一章：数字系统与基本运算 本章首先对自然数、整数、有理数和无理数的概念进行了精确的界定，并着重阐述了实数集的稠密性与完备性。我们详细讨论了运算顺序（PEMDAS/BODMAS）在复杂表达式中的应用，强调了负数乘除的符号规则在构建清晰运算逻辑中的重要性。特别是，我们引入了“逆运算”和“保持平衡”的思想，为后续的方程求解打下哲学基础。本章包含大量的示例，展示如何处理涉及分数、小数和绝对值的混合运算。 第二章：表达式的简化与多项式入门 本章深入探讨了代数表达式的构建与化简。我们详细解释了变量、系数、指数和常量的角色。重点放在了合并同类项的原理上，将其视为一种基于分配律的逻辑简化过程。多项式的引入，从单项式到多项式的定义、分类（按项数和次数）和标准形式的书写，都进行了详尽的说明。本章的难点在于多项式的加减法，我们通过垂直排列和横向展开两种方法进行对比教学，强化了对齐和符号处理的准确性。 第三章：因式分解——代数世界的“还原论” 因式分解被视为代数中最具创造性的技能之一。本章循序渐进地介绍了所有主要的因式分解技巧：提取公因式、平方差公式、完全平方公式、两数之和与差的立方公式，以及最核心的——二次三项式的十字相乘法。我们不仅教授“如何做”，更深入探讨了“为什么能这么做”，将因式分解与多项式的根联系起来。针对分组分解法，我们提供了多组具有启发性的例子，帮助读者识别隐藏的结构。 第四章：线性方程与不等式的求解 本部分是应用代数工具的第一个重要里程碑。本章从一元一次方程开始，系统地展示了如何通过等量公理（加、减、乘、除保持等式平衡）来分离变量。随后，我们将求解过程扩展到包含分数系数、绝对值和多步操作的复杂方程。在不等式部分，我们引入了“方向性”的概念，并特别强调了乘以或除以负数时不等号方向的翻转规则，这是初学者最易出错的地方。本章最后通过设置简单的应用题，如年龄问题和行程问题，展示了如何将文字转化为代数模型。 --- 第二部分：进阶思维与抽象拓展——中级代数的核心 在巩固了基础后，本部分开始引入更抽象的概念，如函数、图像和更复杂的方程形式，培养读者的空间想象力和建模能力。 第五章：函数与图像的几何解读 函数是连接代数与几何的桥梁。本章首先清晰定义了函数的概念、定义域和值域，并介绍了函数符号$f(x)$的含义。我们详细分析了笛卡尔坐标系，并重点讲解了如何绘制和解读各种基本函数图像，包括直线（斜截式与点斜式）、抛物线（顶点式与一般式）。通过图解法，读者可以直观地理解斜率代表的变化率，以及截距的物理意义。本章还涵盖了函数变换（平移、拉伸、反射）的几何效果。 第六章：二次方程与根式运算 二次方程是代数中的一个经典焦点。本章从因式分解法求解二次方程开始，然后引出配方法，这一过程的严谨性为最终推导二次公式奠定了逻辑基础。我们详尽分析了判别式（$Delta$）在确定根的性质（实根、复根、重根）中的作用。此外，本章彻底梳理了根式运算的规则，包括有理化分母、根式的化简以及涉及根式的方程求解，强调了必须检查增根的必要性。 第七章：有理表达式与方程 有理表达式（多项式的比值）的引入，要求读者将前面对多项式和因式分解的理解提升到一个新的高度。本章的核心在于有理表达式的化简、加减乘除运算。我们特别关注了“零分母”的限制，并在求解有理方程时，详细阐述了如何识别和排除导致分母为零的“无关解”。本章还包括了对复有理表达式（即“复杂分式”）的简化技巧。 第八章：指数、对数与指数函数 本章是通往微积分的预备知识。我们从整数指数、零指数、负整数指数的定义出发，系统地推导出分数指数和无理数指数的意义，确保指数运算法则的无缝衔接。对数被定义为指数的逆运算，我们详细解释了以不同底（如自然对数$e$和常用对数10）为底的对数运算性质。最后，本章利用对数解决指数增长和衰减模型，如复利计算和放射性衰变，展示了其在量化变化中的强大威力。 第九章：方程组的求解与矩阵初步 本章专注于处理涉及两个或三个变量的线性方程组。我们系统地介绍了三种核心方法：代入法、消元法，以及对三变量方程组适用的加减消元法。随后，引入了矩阵的概念，将其作为一种高效的组织和表示方程组的方法。通过高斯消元法的基本步骤，读者可以体会到矩阵运算如何系统化地解决复杂的线性系统，这是线性代数思维的萌芽。 --- 学习特色： 本书在每个章节末尾都附有“概念回顾与应用挑战”部分。概念回顾采用问答形式，帮助读者自我检测对核心定义的掌握程度；应用挑战则设计了跨章节的综合性应用题，要求读者综合运用多个知识点来解决实际问题，旨在培养读者将纯数学理论转化为解决现实世界问题的能力。我们坚信，只有通过反复的、有目的的练习，代数思维才能真正内化为一种直觉能力。
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