Quasiconformal Mappings and Their Applications pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:Morgan & Claypool

作者:Ponnusamy, S. (EDT)/ Sugawa, T. (EDT)/ Vuorinen, M. (EDT)

出品人:

页数:354

译者:

出版时间:

价格:765.00 元

装帧:HRD

isbn号码:9788173198076

丛书系列:

图书标签:

• Quasiconformal mappings
• Conformal geometry
• Complex analysis
• Geometric function theory
• Partial differential equations
• Sobolev spaces
• Harmonic analysis
• Boundary value problems
• Mathematical physics
• Teichmüller theory

拓扑几何与微分几何的交汇：现代几何学中的基础概念与前沿研究 作者： [此处可填入虚构的作者姓名，例如：张伟，李明] 出版社： [此处可填入虚构的出版社名称，例如：科学出版社，高等教育出版社] ISBN： [此处可填入虚构的ISBN号] --- 内容简介 本书深入探讨了现代几何学，特别是拓扑几何与微分几何的交叉领域中的核心概念、经典理论及其在现代数学和物理学中的应用。全书结构严谨，内容涵盖了从基础的流形理论到先进的黎曼几何、辛几何、复几何等多个重要分支，旨在为高等院校的数学专业学生、研究生以及相关领域的研究人员提供一份全面而深入的参考指南。 本书摒弃了对特定映射理论的详尽介绍，转而聚焦于几何结构的内在属性、空间的度量以及各种几何形变下的不变量。 第一部分：基础结构与拓扑视角 本书的开篇部分奠定了理解现代几何学的必要基础，重点强调了拓扑学在描述空间性质中的不可替代的作用。 第一章：拓扑空间与连续性 本章从集合论的视角出发，系统回顾了拓扑空间的定义、开闭集、邻域系统等基本概念。重点阐述了拓扑空间的紧致性、连通性以及分离公理（如Hausdorff性质）如何影响空间的拓扑结构。讨论了连续函数的拓扑性质，并引入了商拓扑的概念，为后续构造复杂空间（如纤维丛）做好铺垫。 第二章：微分流形导论 微分几何的基础——微分流形被详细介绍。本章从欧几里得空间 $mathbb{R}^n$ 的局部性质出发，逐步推广到抽象的 $n$ 维光滑流形。内容包括：坐标系、图册、转移映射的微分性质。关键概念如切空间、向量场和张量场的定义和构造被严格论述。特别地，本章引入了光滑函数的微分（外微分）的框架，为积分和几何分析打下基础。 第三章：向量丛与纤维丛 向量丛是研究局部结构如何“粘合”成全局对象的关键工具。本章详细介绍了向量丛的定义，特别是切丛和余切丛。接着，本书引入了纤维丛的概念，并着重讨论了主丛的结构。通过引入联络（Connection）的概念，特别是平移结构，为后续定义曲率张量和测地线提供了几何框架。 第二部分：黎曼几何的度量与曲率 第二部分的核心是黎曼几何，侧重于在流形上引入长度、角度和体积的概念，即度量张量。 第四章：黎曼度量与测地线 本章定义了黎曼流形 $(M, g)$，其中 $g$ 是一个正定的二次型张量场。基于黎曼度量 $g$，引入了指标的升降运算。重点讨论了测地线方程——在黎曼几何中“直线”的最佳逼近。通过列维-奇维塔联络（Levi-Civita Connection）的唯一性定理，导出克里斯托费尔符号，并分析了测地线的局部存在性与唯一性。 第五章：曲率的概念与计算 曲率是衡量空间弯曲程度的关键不变量。本章系统地介绍了黎曼曲率张量 $R$ 的定义及其代数性质（如第一法和第二法恒等式）。随后，定义并详细计算了截面曲率、里奇曲率和数量曲率（标量曲率 $S$）。通过对这些不变量的深入分析，读者将能理解爱因斯坦场方程的几何基础——里奇平直性（Ricci-flatness）的含义。 第六章：变分原理与极值问题 本章将微分几何与变分法相结合，探讨了曲线和曲面的极值问题。定义了能量泛函（Energy Functional）和作用量泛函。关键在于利用泛导数（Functional Derivatives）来推导出欧拉-拉格朗日方程，从而精确地刻画出测地线作为端点固定时能量泛函的临界点。 第三部分：几何结构的拓展与高级主题 本书的最后一部分扩展了几何学的范畴，引入了非黎曼几何结构以及它们在经典力学和拓扑学中的应用。 第七章：辛几何与经典力学 辛几何是对哈密顿力学的纯几何描述。本章定义了辛流形 $(M, omega)$，其中 $omega$ 是一个非退化的、闭合的（$mathrm{d}omega = 0$）微分 2-形式。详细讨论了李维尔定理（Liouville's Theorem）的几何表述，以及辛结构下哈密顿向量场的生成元。此外，还介绍了泊松括号的几何构造。 第八章：复结构与凯勒几何 对于具有可微结构和兼容复结构的流形，引入了凯勒几何。本章定义了复流形和几乎复结构 $J$。在黎曼度量与复结构相容的条件下，导出了凯勒度量的特殊性质。重点分析了霍奇理论的基础概念，探讨了复几何在代数几何中的深刻联系。 第九章：几何不变量与拓扑学的联系 本章探讨了如何利用几何工具来计算拓扑不变量。讨论了示性类（Characteristic Classes），特别是陈类（Chern Classes）和庞加莱对偶性。通过介绍盖伊-林德勒伯格公式（Gauß-Bonnet Theorem）的推广形式，展示了曲率积分如何直接关联到流形拓扑性质（如欧拉示性数）这一深刻的几何-拓扑联系。 本书特色 严谨的数学推导： 全书严格遵循现代几何学的公理化体系，所有核心定理均提供完整、清晰的证明。 强调内在性： 专注于流形本身的几何属性，而非局部坐标下的计算。 跨学科视野： 深入连接了微分方程、泛函分析以及理论物理中的基本原理。 本书旨在培养读者对空间结构本质的深刻洞察力，是几何学深度学习的理想读物。

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