Syzygies and Hilbert Functions pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:Chapman and Hall/CRC

作者:Peeva, Irena

出品人:

页数:304

译者:

出版时间:2007-3-20

价格:USD 189.95

装帧:Paperback

isbn号码:9781584888604

丛书系列:

图书标签:

• 代数几何
• 交换代数
• 希尔伯特函数
• Syzygies
• 自由分解
• 正则性
• Cohen-Macaulay环
• Gorenstein环
• 局部代数
• 多项式环

《拓扑代数结构与高维几何的交织》 作者： [此处留空，或使用化名] 出版社： [此处留空，或使用虚构出版社名称] 出版日期： [此处留空，或使用虚构年份] --- 内容简介 本书深入探讨了现代数学中两个核心领域——拓扑代数结构与高维几何——之间的深层联系与相互作用。它并非一部浅尝辄止的综述，而是一部旨在为研究生和专业研究人员提供坚实理论基础与前沿视角的研究专著。全书结构严谨，从基础概念的精确阐述出发，逐步攀升至复杂模型的构建与分析，重点关注如何利用代数工具刻画和理解几何空间的内在属性。 本书的叙事逻辑围绕“结构嵌入与不变量的提取”这一核心主线展开。我们首先在第一部分重温了现代代数拓扑学的基本框架，包括同调论、上同调论以及奇异同调的建立。然而，不同于标准教材的侧重，我们立即将焦点转向如何从这些代数不变量中提取出关于原始空间拓扑特性的更精细信息。我们详细分析了霍莫同伦群（Homotopy Groups）在描述空间连通性方面的局限性，并引入了更强大的工具——李群代数（Lie Group Algebras），作为连接连续群论与离散代数结构的桥梁。书中花了大量篇幅阐述如何利用李群的表示论来研究纤维丛的特性，特别是对史蒂芬森-怀特纤维丛（Steenrod-Whitehead Fiber Bundles）的深入剖析，这为理解高维流形上的向量丛提供了全新的视角。 第一部分：代数结构的深层挖掘 第三章：环谱理论与模的张量积 本章致力于拓宽对“模”（Modules）这一基本代数对象的理解。我们超越了标准的阿贝尔群模，进入到非交换代数域上的模结构。重点讨论了环谱理论（Ring Spectrum Theory），该理论在代数拓扑中扮演着日益重要的角色。我们详细构建了广义张量积（Generalized Tensor Products），并探究了其在处理局部化与完备化过程中的稳定性。特别是，我们引入了“平坦性条件”在非阿贝尔环境中如何转化为更复杂的同调条件，为后续的模空间分析奠定了基础。本章的难点在于，我们必须在不依赖于具体几何直观的情况下，仅凭纯代数操作来推导拓扑等价性。 第四章：准同构与同调关系 本章关注如何通过代数操作来“测量”两个拓扑空间之间的差异程度。我们引入了准同构（Quasi-isomorphisms）的概念，并讨论了在特定限制下，链复形之间的准同构如何诱导出同构的（或至少是等价的）同调群。此处的核心挑战在于处理微分算子（Differential Operators）与链复形之间的交互作用。我们引入了“流形上的微分同调（Differential Cohomology on Manifolds）”的框架，展示了德拉姆上同调（de Rham Cohomology）如何自然地嵌入到更一般的上链复形理论中，并探讨了在奇异点附近，这种嵌入是如何被打破的，以及如何通过使用“拟函数理论”（Pseudofunction Theory）来恢复其连续性。 第二部分：高维几何的代数重构 本书的第二部分将视角转向几何，但重点始终放在如何用代数语言来构建和分析这些几何对象。我们避免了依赖于直觉性的三维或四维空间想象，而是专注于纯粹的代数定义。 第六章：代数簇上的代数拓扑 本章将研究对象聚焦于代数簇（Algebraic Varieties），特别是那些定义在复数域 $mathbb{C}$ 上的簇。我们不再满足于经典的贝蒂数，而是深入研究了霍奇结构（Hodge Structures）。书中详尽论述了霍奇分解定理的精确表述及其在理解簇的复杂性中的核心作用。我们着重分析了局部系统（Local Systems）在霍奇理论中的应用，特别是如何利用伽罗瓦表示（Galois Representations）来推导模空间的代数不变量。例如，我们构建了一个关于“平面曲线的模空间”的代数模型，并展示了如何通过计算特定的上同调类来确定曲线的亏格（Genus）。 第七章：因子环与局部化几何 高维几何往往需要对局部性质进行精细分析。本章探讨了因子环（Factor Rings）在描述奇点（Singularities）方面的作用。我们引入了“规范化（Normalization）”过程的代数描述，并将其与拓扑空间中“去除尖锐点”的操作进行对比。核心内容是“完备化（Completions）”技术，特别是在形式幂级数环（Formal Power Series Rings）上的应用。我们详细证明了，对于一个代数簇上的局部环，其完备化过程在某些条件下，可以等价于研究一个具有特定拓扑结构的极限对象。这为从代数上研究渐进行为（Asymptotic Behavior）提供了坚实的工具。 第三部分：交织与前沿应用 本书的最后一部分旨在将前两部分的理论工具结合起来，应用于更具挑战性的问题中。 第九章：代数 K 理论在流形分类中的作用 本章超越了传统的同调理论，引入了更抽象的代数 K 理论（Algebraic K-Theory）。我们考察了流形上的向量丛（Vector Bundles on Manifolds），并展示了 K 理论如何提供比经典拓扑不变量（如 Chern 类）更精细的分类信息。我们详细介绍了Bass-Serre 理论与 K 理论之间的联系，特别是如何利用群作用来构建同伦等价的 K 理论空间。书中引入了“奇点 K 理论（Singular K-Theory）”的概念，用于分析在具有边界或奇异点的流形上的向量丛。 第十二章：非交换几何与拓扑的界限 本书以对非交换几何的展望性讨论作结。我们探讨了当几何空间本身不再能被定义为交换环上的代数对象时，拓扑学和代数如何进行交汇。我们考察了非交换流形（Noncommutative Manifolds）的概念模型，它们通常由非交换C代数（C-algebras）来描述。我们展示了谱序列（Spectral Sequences）是如何被改造以适应非交换代数结构，并以此为工具，来“测量”一个非交换代数结构偏离其经典交换对应物的程度。这部分内容侧重于理论构建，旨在激发对拓扑空间下一层次定义的探索。 --- 本书的特点： 深度与广度兼备： 覆盖了从基础同调到高级 K 理论与非交换几何的多个层面。 理论驱动： 强调严格的代数证明和结构导出，而非依赖于几何直觉。 跨学科性： 专门针对那些在代数拓扑、代数几何和微分几何交叉领域有兴趣的研究者。 本书假设读者已具备扎实的抽象代数和基础拓扑学知识。它旨在成为连接理论基础与前沿研究的桥梁，挑战读者在更高维度抽象空间中思考结构的能力。

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