Hyperbolic Functions pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:Dover Pubns

作者:Shervatov, V. G./ Argunov, B. I./ Skornyakov, L. A./ Boltyanskii, V. G.

出品人:

页数:176

译者:

出版时间:2007-3

价格:$ 12.37

装帧:Pap

isbn号码:9780486458861

丛书系列:

图书标签:

• 双曲函数
• 数学
• 微积分
• 高等数学
• 函数
• 三角函数
• 反函数
• 指数函数
• 对数函数
• 数学分析

好的，这是一份关于一本名为《奇异几何》的图书简介： --- 《奇异几何：超越欧几里得的探索》 图书简介 第一部分：引言——边界之外的疆域 《奇异几何：超越欧几里得的探索》是一部深入解析几何学分支领域——非欧几里得几何的权威著作。本书旨在为读者构建一个清晰、直观且严谨的框架，用以理解和掌握那些挑战我们日常直觉的几何结构。在长达两千多年的时间里，欧几里得的公理体系——特别是平行公设——被视为描述我们所处空间形态的唯一真理。然而，随着人类对宇宙和数学本质的探求日益深入，这一看似坚不可摧的基石开始显现裂痕。本书正是由此开端，引领读者踏上一段充满洞见的旅程，去探索那些建立在不同公理基础之上，却同样逻辑自洽的几何世界。 我们并非仅仅满足于介绍非欧几何的理论，更致力于探究其背后的哲学意义及其对现代科学的深远影响。本书的叙事结构围绕着对“空间形态”的根本性追问展开，从古典几何的完美和谐，过渡到弯曲空间所蕴含的无限可能性。 第二部分：历史的转折点——从怀疑到发现 本书细致梳理了非欧几何从萌芽到成熟的历史脉络。我们将重温高斯、罗巴切夫斯基和波雅伊在十九世纪初的独立工作，他们是如何在平行公设的质疑中，一步步构建出第一个被接受的替代体系——双曲几何的基础。这段历史不仅仅是数学发现的编年史，更是一场关于真理与权威的深刻辩论。 我们不仅会剖析这些先驱者们面临的哲学困境——如何在一个被认为“不可能存在”的几何体系中寻找逻辑的可靠性——还会详细考察他们的核心思想。特别是罗巴切夫斯基构建的“罗氏几何”的内在一致性，是如何通过精妙的代数和三角函数转换被确立的。 紧随其后，本书转向了黎曼的革命性工作。通过引入曲率的概念，黎曼将几何学的视野从“平面”扩展到了任意维度的流形上。他的贡献不仅奠定了椭圆几何（球面几何）的严格基础，更重要的是，他提供了一种全新的、将几何学视为研究“空间内在属性”的视角，这为后来的广义相对论铺平了道路。 第三部分：核心构建块——双曲空间的细致描摹 虽然本书的主旨是广义的奇异几何，但它投入了大量篇幅来详细解析双曲几何（即罗氏几何）的结构。这并非偶然，因为双曲空间以其反直觉的性质，最能凸显非欧几何的奇异魅力。 在深入探讨之前，本书首先会通过模型论的方法，将抽象的公理转化为具象的图像。我们将详细介绍三种经典模型： 1. 庞加莱圆盘模型（Poincaré Disk Model）：如何用一个圆盘内的欧几里得几何来准确地表示双曲世界。我们将清晰地阐释“测地线”（双曲线）在这一模型中表现为圆弧或直线段，以及角度的保持（保形性）。读者将亲眼目睹平行线的“无限多”现象，理解在双曲空间中，过一点有无数条不与给定直线相交的直线。 2. 庞加莱上半平面模型（Poincaré Upper Half-Plane Model）：该模型在处理某些群作用和模形式时具有独特的优势。本书将对比它与圆盘模型的异同，特别是它们在处理无穷远处边界的行为差异。 3. 克莱因模型（Klein Model）：尽管该模型在角度上不保形，但它以其测地线（直线段）的直观性著称。我们将分析该模型如何在保持直线距离的比例下，准确描绘双曲空间中的“距离感”。 通过对这些模型的深入比较和应用，读者将能够掌握计算双曲空间中距离、面积和角度的精确方法。书中的几何定理不再是抽象的公式，而是可通过模型直观验证的视觉事实。 第四部分：理论的深化——三角学与曲率的联系 奇异几何的真正威力体现在其三角学结构上。本书将详尽推导双曲三角学的核心公式，展示它们如何从欧几里得公式中系统地演化而来。 双曲余弦定理与正弦定理：我们将展示这些定理的形式，并探讨它们在退化情况（如角为零或九十度）下如何回归到欧几里得或椭圆几何。 角度亏格定理（Angle Defect Theorem）：这是双曲几何中最深刻的特征之一。我们将证明在一个双曲三角形中，三个内角的和总是小于 $pi$ 弧度，并且这个“亏损量”（$pi$ 减去角和）与三角形的面积成正比。这一发现彻底颠覆了欧几里得几何中“三角形内角和恒为 $pi$”的教条。 此外，本书还将引入高斯曲率的概念，并阐释在单连通、常曲率为负的二维流形（即双曲面）上，曲率的恒定性如何定义了该空间的内在几何结构。 第五部分：跨学科的影响——从宇宙学到拓扑学 《奇异几何》的最终目标是展示这些看似纯粹的数学抽象如何重塑了我们对实在世界的理解。 物理学的应用：本书将概述爱因斯坦广义相对论中的核心思想——引力场即是时空曲率的体现。我们将讨论在某些宇宙学模型中，时空的全局几何可能接近于双曲形态，以及这种几何对光线传播和物质分布的潜在影响。 拓扑学和离散群：我们将探讨双曲空间在低维拓扑学中的重要地位，特别是它如何与某些晶格结构和分形几何产生联系。通过介绍庞加莱的“基本域”和“移动群”的概念，读者将瞥见这些奇异几何如何被用来研究更复杂的空间结构。 目标读者 本书适合具有扎实微积分和线性代数基础的数学系本科高年级学生、研究生，以及对几何学历史和现代物理学基础感兴趣的严谨的科学爱好者。阅读本书，您将不仅掌握一套新的几何工具，更将获得一种全新的、更加广阔的、关于“空间”本质的洞察力。 ---

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