A Dressing Method in Mathematical Physics pdf epub mobi txt 电子书下载 2026

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出版者:Springer Verlag

作者:Doktorov, Evgeny V.

出品人:

页数:410

译者:

出版时间:

价格:$ 168.37

装帧:HRD

isbn号码:9781402061387

丛书系列:

图书标签:

数学物理
散射理论
积分变换
渐近分析
特殊函数
偏微分方程
量子力学
经典力学
函数分析
复分析

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具体描述

This monograph systematically develops and considers the so-called "dressing method" for solving differential equations (both linear and nonlinear), a means to generate new non-trivial solutions for a given equation from the (perhaps trivial) solution of the same or related equation. The primary topics of the dressing method covered here are: the Moutard and Darboux transformations discovered in XIX century as applied to linear equations; the B cklund transformation in differential geometry of surfaces; the factorization method; and the Riemann-Hilbert problem in the form proposed by Shabat and Zakharov for soliton equations, plus its extension in terms of the d-bar formalism. Throughout, the text exploits the linear experience of presentation, with special attention given to the algebraic aspects of the main mathematical constructions and to practical rules of obtaining new solutions. Various linear equations of classical and quantum mechanics are solved by the Darboux and factorization methods. An extension of the classical Darboux transformations to nonlinear equations in 1+1 and 2+1 dimensions, as well as its factorization, are also discussed in detail. What 's more, the applicability of the local and non-local Riemann-Hilbert problem-based approach and its generalization in terms of the d-bar method are illustrated via various nonlinear equations.

弦理论中的拓扑相变与新兴的引力几何图书简介本书深入探讨了弦理论框架下，尤其是在AdS/CFT对应关系这一强大工具的指引下，拓扑相变所展现出的深刻物理意义及其与量子引力几何的内在联系。我们聚焦于高维时空中的场论描述，通过分析特定参数空间中系统行为的定性变化，揭示了量子场论（QFT）的微观自由度如何重构宏观几何结构。第一部分：拓扑序与AdS/CFT的交汇点本书的开篇部分首先建立了一个坚实的理论基础，回顾了凝聚态物理中拓扑序（Topological Order）的基本概念，例如分数霍尔效应中的非阿贝尔统计以及张量网络（Tensor Networks）在描述纠缠结构中的作用。随后，我们将讨论如何将这些概念迁移到量子场论的背景中，特别是在具有规范/引力对偶的系统中。我们将详细分析规范场论中规范群的约化（如$SU(N)$到$U(1)$）如何对应于引力侧几何的奇点形成或拓扑演化。核心章节将围绕“纠缠熵与视界面积”的关系展开，阐述冯·诺依依曼熵（Von Neumann Entropy）在AdS空间中如何转化为视界面积（Beken向下沉积分的结果），并探讨在跨越拓扑相变点时，这种对应关系的稳定性与可微性。我们特别关注的是大N极限下，拓扑性质如何支配低能有效作用量。在某些特定的规范理论中，拓扑激发（如瞬子或怪物场）的集体行为能够定义出系统的热力学性质，这些性质在引力对偶中直接映射为黑洞的相图。第二部分：几何的重构与拓扑陷阱本部分是全书的理论核心，着重于几何结构如何响应量子场论中的拓扑变化。我们引入了“几何拓扑不变量”的概念，这些不变量源于规范场论中的Chern-Simons项或Wess-Zumino项。 1. 卡拉比-丘流形上的模空间（Moduli Space）: 在IIA/IIB型弦理论紧化中，我们研究了卡拉比-丘流形$X$的模空间。拓扑相变往往表现为模空间上的自交（Self-Intersection）或割裂（Fissure），这对应于场的有效势能地形的改变。我们展示了如何利用米勒（Miller）指标和高斯-邦尼特（Gauss-Bonnet）定理来量化这种几何变化，并将其与规范理论中对偶性的破缺联系起来。 2. 奇点与渐近平坦化（Singularity Resolution）: 当系统穿越拓扑相变时，常伴随着引力几何的奇点出现。我们采用F-理论的视角，将一维的拓扑转变视为高一维空间中F-理论膜（F-branes）的接触或分离事件。例如，在某些$M$-理论紧致化中，拓扑相变对应于奇点附近几何的“拉链式”展开，展现出普适的尺度无关行为。本书将详细推导这些几何演化的精确动力学方程，强调霍金辐射在相变边界上的修正效应。 3. 非对偶场论中的拓扑相变: 尽管AdS/CFT提供了强大的分析工具，我们也审视了在没有直接引力对偶的场论中，拓扑相变如何通过手征异常（Chiral Anomaly）和格点模拟（Lattice Simulation）来揭示。这些分析为理解更一般的量子引力模型提供了重要的参照系。第三部分：动力学、热力学与信息流本书最后一部分关注拓扑相变过程中的信息和能量流，这对于理解量子信息如何在时空结构中编码至关重要。 1. 量子信息与时空几何的演化: 我们考察了在拓扑相变过程中，信息如何在AdS侧的黑洞视界面和CFT侧的纠缠结构之间传递。利用Ryu-Takayanagi公式的修正形式，我们探讨了当系统处于临界点附近时，几何的微小扰动如何被量子信息理论中的互信息（Mutual Information）所放大。 2. 热力学异常与粘滞性: 拓扑相变往往伴随着系统热力学性质的突变。我们分析了特定规范理论（如$mathcal{N}=4$超杨米尔斯理论的某些非超对称变形）在相变附近表现出的零粘滞比率（Zero Viscosity Ratio）的起源，并将其归因于几何侧的特殊对称性恢复或破缺。 3. 对偶性的边界与全息重力: 本书最后总结了当前研究的局限性，特别是当CFT变得高度非微扰（即引力描述变得非常强耦合，需要考虑弦修正或高阶曲率修正）时，拓扑相变的精确描述所面临的挑战。我们提出了基于边界层理论（Boundary Layer Theory）来解析相变附近时空度规的建议方法。本书面向高年级研究生和研究人员，要求读者对量子场论、广义相对论和弦理论有扎实的基础。通过详尽的数学推导和对前沿物理思想的深入剖析，本书旨在为读者提供一个理解拓扑结构如何塑造时空几何的全新视角。