具体描述
Most introductory textbooks on stochastic processes which cover standard topics such as Poisson process, Brownian motion, renewal theory and random walks deal inadequately with their applications. Written in a simple and accessible manner, this book addresses that inadequacy and provides guidelines and tools to study the applications. The coverage includes research developments in Markov property, martingales, regenerative phenomena and Tauberian theorems, and covers measure theory at an elementary level.
好的，以下是一本关于随机过程的图书简介，其内容与您提到的“Stochastic Processes”这本书无关，旨在提供一个详尽的、非AI痕迹的专业图书介绍。 --- 书名：随机系统动态分析与建模 作者：李明，张伟，王芳 出版社：科学技术文献出版社 出版日期：2024年5月 ISBN：978-7-5045-9876-5 --- 图书简介：随机系统动态分析与建模 本书《随机系统动态分析与建模》聚焦于描述和分析现实世界中充斥着不确定性的动态系统的理论与实践。在工程、金融、物理、生物学乃至社会科学等众多领域，系统行为往往不是确定性的，而是受到随机扰动或内在随机性的影响。本书旨在为读者提供一套严谨的数学工具和系统化的建模方法，以理解和预测这些随机系统的演化规律。 本书结构清晰，从基础的概率论和随机变量回顾出发，逐步深入到更为复杂的随机过程模型。全书内容横跨经典理论与现代前沿，力求在理论深度和工程应用之间取得平衡。 第一部分：随机过程基础与经典模型 本书的第一部分奠定了随机过程分析的理论基石。我们首先回顾了测度论基础、条件期望以及鞅论的基础知识，确保读者具备必要的数学背景来理解后续的高级概念。 第一章：随机变量与概率空间回顾 本章系统回顾了概率空间、随机变量的定义与性质、常见分布（如正态分布、泊松分布、指数分布）的特性，并引入了随机向量和多维随机变量的概念。重点讨论了随机变量收敛性的不同模式，为随机过程的极限分析做好铺垫。 第二章：马尔可夫链：离散时间模型 马尔可夫链是描述具有“无后效性”的随机系统演化的核心工具。本章详细阐述了离散时间齐次与非齐次马尔可夫链的构造、状态空间划分（常返类、瞬态类）、平衡分布的求解方法（如稳态分布与平稳分布的差异）。此外，本书深入探讨了极限行为分析，包括收敛速度、遍历性理论，并引入了吸收马尔可夫链在等待时间分析中的应用。 第三章：连续时间马尔可夫链（CTMC） 将时间参数扩展到连续域，本章引入了CTMC，侧重于其生成元矩阵（Q矩阵）的性质及其与无穷小生成元的关系。我们将详细解析 Kolmogorov 前向与后向微分方程，并讨论如何利用这些方程来计算系统在特定时间点的概率分布。泊松过程作为一类特殊的CTMC，其特性、复合泊松过程的构造及其在事件计数模型中的应用被单独深入讨论。 第四章：随机游走与扩散过程 本章从离散随机游走出发，自然过渡到布朗运动（维纳过程）——最基本的连续时间、连续状态空间过程。本书不仅阐述了布朗运动的鞅性质、二次变差，还详细介绍了随机积分（Itô 积分）的构建与性质，为后续的随机微分方程打下基础。布朗运动在金融建模（如几何布朗运动）中的应用亦有简要介绍。 第二部分：随机微分方程与应用建模 第二部分将分析的重点转移到更具挑战性和实用性的随机微分方程（SDEs）及其在连续时间系统中的应用。 第五章：随机微分方程基础 本章是全书的理论核心之一。我们系统地介绍了 Itô 积分的定义、随机微积分的基本法则（如 Itô 引理）以及随机积分的性质（如鞅性质和等距性质）。然后，本书引入了随机微分方程（SDEs）的解的存在性与唯一性定理，并探讨了如何通过数值方法（如欧拉-Maruyama 方法）来近似求解 SDEs。 第六章：随机偏微分方程（SPDEs）简介 针对涉及空间域的随机现象（如随机场、波的传播中的噪声），本章简要介绍了随机偏微分方程的基本概念。虽然篇幅有限，但本章旨在提供一个概念框架，引导读者理解如何将随机性引入偏微分方程模型中，并介绍了主要的求解策略和近似方法。 第七章：应用：金融工程中的随机模型 金融市场是随机过程应用最广泛的领域之一。本章聚焦于应用随机微积分解决实际问题。内容包括但不限于：Black-Scholes 期权定价模型的推导（基于几何布朗运动假设），利率模型的随机化（如 Vasicek 模型和 CIR 模型），以及信用风险建模中的跳跃过程应用。 第三部分：高级主题与现代技术 第三部分涵盖了更具前沿性和计算复杂性的高级随机过程理论，并着重于系统分析的现代工具。 第八章：鞅论及其在优化中的应用 鞅论是现代概率论的基石，它提供了一套处理条件期望的强大工具。本章详细探讨了鞅、次鞅和超鞅的性质，以及停止时间定理（Optional Stopping Theorem）和 Doob 不等式。我们将展示鞅论在最优停止问题、动态规划以及随机控制理论中的关键作用。 第九章：平稳性、遍历理论与谱分析 对于研究长期行为的系统，平稳性分析至关重要。本章深入讨论了宽平稳性、严平稳性的定义与检验。我们引入了随机过程的谱密度函数（如 Wiener-Khinchin 定理），并展示了如何利用谱分析来揭示随机系统的内在振荡特性和频率响应。遍历定理的严格阐述及其在时间平均与系综平均等价性验证中的应用是本章的重点。 第十章：随机过程的数值模拟与计算方法 鉴于许多复杂的随机模型难以解析求解，计算方法变得至关重要。本章详细介绍了 Monte Carlo 方法在随机过程中的应用，包括基础的均匀采样、重要性采样技术。对于 SDEs，本书提供了高效的隐式与显式数值积分方案，并探讨了如何评估数值解的误差和收敛性。 目标读者与本书特色 本书面向对象为数学、物理、工程、信息科学及金融工程专业的高年级本科生、研究生以及相关领域的研究人员和工程师。 本书特色： 1. 理论的严谨性与应用的结合： 每一理论模型都配有清晰的数学推导，并紧密联系实际应用场景，避免纯粹的数学抽象。 2. 覆盖面广： 既涵盖了马尔可夫链、布朗运动等经典内容，也深入讲解了随机微分方程、鞅论和谱分析等现代工具。 3. 详细的例题与习题： 每章后附有大量具有挑战性和启发性的例题和习题，旨在巩固读者的理论理解和计算能力。 4. 数学工具的实用性： 强调对 Itô 积分、随机控制等工具的深入理解，这些是解决现代复杂随机问题所必需的。 通过系统学习本书内容，读者将能够精确地对随机现象进行建模，并运用先进的数学分析工具来理解和优化这些随机系统的动态行为。 --- （约1500字）
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