Continued Fractions pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

简体网页||繁体网页

☆☆☆☆☆

出版者:World Scientific Pub Co Inc

作者:Szusz, Peter

出品人:

页数:196

译者:

出版时间:

价格:$ 41.81

装帧:Pap

isbn号码:9789810210526

丛书系列:

图书标签:

• Continued Fractions
• Number Theory
• Mathematical Analysis
• Diophantine Equations
• Algorithms
• Approximation
• Rational Numbers
• Real Numbers
• Series
• Functions

深入探索数论的迷人领域：一部关于代数数论与椭圆曲线的著作 本书旨在为读者提供一个全面而深入的视角，探索数论中两个核心且相互关联的分支：代数数论（Algebraic Number Theory）与椭圆曲线（Elliptic Curves）。我们跳脱出传统初等数论的范畴，直接步入现代数论的精妙结构之中，重点关注如何利用抽象代数工具来解决和理解数论问题。 第一部分：代数数论的基础构建与进阶 本部分将系统地介绍代数数论的基石。我们将从理解代数数（Algebraic Numbers）和代数整数（Algebraic Integers）的概念开始。读者将学习如何将熟悉的有理数系统推广到更广阔的数域中，例如二次域 ($mathbb{Q}(sqrt{d})$) 和更一般的数域 ($K$)。 域扩张与环结构： 章节将详细阐述域扩张的理论，特别是环论（Ring Theory）在数论中的应用。我们着重分析数域 $K$ 中的代数整数环 $mathcal{O}_K$，这是代数数论中研究的核心对象。读者将学习如何计算和理解判别式（Discriminant），它是衡量域扩张性质的关键不变量。 理想与唯一分解： 传统整数环 $mathbb{Z}$ 的核心特性是唯一分解性（Unique Factorization）。然而，在代数整数环中，这种分解往往不再成立。本书将深入探讨这一现象的根源，并引入理想（Ideals）的概念——这是代数数论中最强大的工具之一。我们将证明和应用理想的唯一分解定理，揭示在 $mathcal{O}_K$ 中元素分解的真正结构。这部分内容将包括素理想（Prime Ideals）的定义及其在分解中的作用。 类群与类数： 理想的分解不唯一性催生了类群（Class Group）的概念，它是衡量 $mathcal{O}_K$ 偏离唯一分解程度的拓扑不变量。我们将详细构建类群，计算类数（Class Number），并探讨Dirichlet 单位定理，该定理描述了 $mathcal{O}_K$ 中单位群的结构。这为理解丢番图方程（Diophantine Equations）在数域中的推广提供了必要的代数框架。 局部化与解析方法初探： 我们将触及局部化（Localization）的概念，探讨在特定素数 $p$ 下对数域进行的分析——p-adic 数（p-adic Numbers）及其分析。这不仅是连接代数与分析的桥梁，也是理解局部-全局原理（Local-Global Principle）的关键步骤。 第二部分：椭圆曲线的几何与算术 本书的后半部分将转向几何与代数交织的领域——椭圆曲线。我们将椭圆曲线视为光滑的、亏格为一的射影曲线，重点研究其有理点集上的群结构。 曲线的定义与几何性质： 我们从Weierstrass标准型开始，定义椭圆曲线 $E$。读者将学习如何处理奇点（Singularities）问题，并理解光滑性在算术中的重要性。我们将考察椭圆曲线在有限域 $mathbb{F}_p$ 上的点计数问题，为后续的模运算奠定基础。 群定律的建立： 椭圆曲线上点的集合具有一个优雅的阿贝尔群结构。本书将严格推导出群加法定律——即“三点共线，第四点相加为零元”的几何意义。我们将详细论证这一几何操作满足结合律、交换律等群公理，从而建立起一个完全可操作的算术框架。 Mordell-Weil 定理： 椭圆曲线算术的核心在于其有理点群 $E(mathbb{Q})$ 的结构。Mordell-Weil 定理是本领域最深刻的成果之一，它断言 $E(mathbb{Q})$ 是一个有限生成阿贝尔群。本书将详细阐述该定理的结构分解：$E(mathbb{Q}) cong E(mathbb{Q})_{ ext{tors}} oplus mathbb{Z}^r$，其中 $E(mathbb{Q})_{ ext{tors}}$ 是有限挠率子群，而 $r$ 是秩（Rank）。我们将探讨如何计算挠率点，并介绍计算秩的初步方法（例如使用Selmer群）。 L-函数与BSD 猜想的引言： 在更深入的层面，我们将引入椭圆曲线的L-函数（L-function），这是与该曲线关联的模形式（Modular Forms）的 $L$-函数。我们将讨论Hasse-Weil 谱与 $L$-函数的联系，并概述Birch and Swinnerton-Dyer (BSD) 猜想的核心思想，该猜想将 $L$-函数的零点阶数与椭圆曲线的秩紧密联系起来，代表了现代数论中尚未完全解决的宏伟目标。 数论中的联结： 最后，本书将展示代数数论与椭圆曲线如何相互作用。例如，费马大定理的证明（通过 Frey 曲线和谷山-志村猜想的证明）是两者深度融合的典范。我们也会探讨复乘法（Complex Multiplication）的现象，它发生在具有特殊算术性质的椭圆曲线上，并与特定的代数数域有着深刻的联系。 通过对这些高级主题的细致剖析，本书旨在为读者提供一个扎实的理论基础，使他们能够理解并进一步研究现代数论的前沿问题。本书适合具备扎实抽象代数（群、环、域）知识，并对数论有浓厚兴趣的研究生和高级本科生。

评分☆☆☆☆☆

评分☆☆☆☆☆

评分☆☆☆☆☆

评分☆☆☆☆☆

评分☆☆☆☆☆

评分☆☆☆☆☆

评分☆☆☆☆☆

评分☆☆☆☆☆

评分☆☆☆☆☆

评分☆☆☆☆☆