The Mathematics of Soap Films pdf epub mobi txt 电子书下载 2026

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☆☆☆☆☆

出版者:Amer Mathematical Society

作者:Oprea, John

出品人:

页数:266

译者:

出版时间:2000-9

价格:247.00 元

装帧:Pap

isbn号码:9780821821183

丛书系列:Student Mathematical Library

图书标签:

数学-极小曲面
数学-数学软件
数学
微分拓扑7
数学
肥皂膜
表面张力
极小曲面
几何学
物理学
材料科学
拓扑学
可视化
微积分

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具体描述

Nature tries to minimize the surface area of a soap film through the action of surface tension. The process can be understood mathematically by using differential geometry, complex analysis, and the calculus of variations. This book employs ingredients from each of these subjects to tell the mathematical story of soap films.

The text is fully self-contained, bringing together a mixture of types of mathematics along with a bit of the physics that underlies the subject. The development is primarily from first principles, requiring no advanced background material from either mathematics or physics.

Through the Maple® applications, the reader is given tools for creating the shapes that are being studied. Thus, you can “see” a fluid rising up an inclined plane, create minimal surfaces from complex variables data, and investigate the “true” shape of a balloon. Oprea also includes descriptions of experiments and photographs that let you see real soap films on wire frames.

The theory of minimal surfaces is a beautiful subject, which naturally introduces the reader to fascinating, yet accessible, topics in mathematics. Oprea's presentation is rich with examples, explanations, and applications. It would make an excellent text for a senior seminar or for independent study by upper-division mathematics or science majors.

《肥皂膜的数学》是一本引人入胜的书籍，它将读者带入一个既熟悉又充满奥秘的领域——肥皂膜的迷人世界。这本书并非是一部枯燥的数学理论教科书，而是以一种独特而富有洞察力的方式，揭示了肥皂膜背后蕴含的深刻数学原理，以及这些原理如何塑造我们对物理世界和几何形状的理解。对于许多人来说，肥皂膜可能只是童年玩耍时吹出的晶莹剔透的泡泡，或是厨房里洗碗时看到的闪烁彩虹的薄膜。然而，作者将带领我们跳出日常的直观感受，深入探索这些看似简单的结构所遵循的精妙数学规律。本书的核心在于，肥皂膜总是倾向于形成具有最小表面积的形状，以抵抗表面张力。这种“最小表面积”的原则，正是物理学中最基本、最普遍的定律之一，而《肥皂膜的数学》则将这一原则与一系列引人入胜的数学概念紧密联系起来。书中首先会介绍表面张力这个至关重要的概念。读者将了解到，液体表面分子之间存在的吸引力，使得液体表面趋于收缩，表现出类似弹簧的特性。这种微小的力，却能解释诸如水滴为何呈球形，以及为什么我们可以看到肥皂膜的形成。作者会用生动形象的语言，结合一些简单的实验和例子，来解释表面张力的运作方式，让读者对这一物理现象产生直观的理解。接着，本书将深入探讨“最小曲面”的数学理论。最小曲面是那些在局部上具有最小表面积的曲面，它们在自然界和工程学中扮演着重要的角色。肥皂膜正是这类曲面的绝佳现实体现。作者会介绍一系列数学工具，来描述和分析这些曲面，例如曲率、高斯曲率和平均曲率等概念。读者将学习到，对于一个给定的边界，肥皂膜会自发形成一个表面，使得其面积最小化。这不仅仅是一个几何问题，更涉及到变分法和微分几何的深刻思想。书中可能会讨论一些经典且迷人的数学问题，例如“ Plateau问题”。 Plateau问题旨在确定，给定一个闭合的曲线作为边界，是否存在一个具有最小面积的曲面，它以该曲线为边界。肥皂膜的形成过程，恰恰是对这一数学问题的直观验证。作者会详细阐述Plateau问题的数学形式，以及相关的研究历史和发展。《肥皂膜的数学》还会引导读者思考，为什么肥皂膜会呈现出如此多样的形态。从简单的圆形泡泡，到复杂的、由多个膜面组成的结构，每一种形态都遵循着特定的数学法则。例如，当两个肥皂膜相交时，它们会形成一条具有特定角度的线，这种角度通常是120度。这个看似寻常的现象，背后却隐藏着力学平衡的数学原理，即三个力在三个方向上达到平衡。书中将深入剖析这些连接处（称为 Plateau-like surfaces）的数学特征，以及它们如何影响整个结构的稳定性。本书的另一个迷人之处在于，它将数学理论与实际应用相结合。肥皂膜的研究不仅仅停留在理论层面，它对许多领域都具有重要的启示和应用价值。例如，在建筑设计中，研究最小曲面可以帮助工程师设计出更轻巧、更坚固的结构，如穹顶和桥梁。在材料科学领域，理解液体薄膜的行为对于制造微流控设备、显示器等至关重要。甚至在航空航天领域，研究表面张力也对航天器的设计和运行有着深远的影响。《肥皂膜的数学》可能会通过大量的图示、插画和示意图，来帮助读者更好地理解抽象的数学概念。这些视觉化的呈现方式，将肥皂膜的几何形状、数学性质以及相关的物理过程，变得更加直观和易于接受。读者无需具备深厚的数学背景，也能在书中找到乐趣和启发。此外，本书或许会追溯肥皂膜研究的历史，介绍那些在这一领域做出杰出贡献的科学家，例如比利时物理学家约瑟夫·普拉托（Joseph Plateau）和德国数学家赫尔曼·冯·亥姆霍兹（Hermann von Helmholtz）。通过了解历史的脉络，读者可以更深刻地体会到，人类对自然现象的探索是如何一步步推动科学的进步。对于那些对数学、物理学、几何学或只是对自然界的美妙现象感到好奇的读者，《肥皂膜的数学》无疑是一本不容错过的佳作。它用一种独特而引人入胜的方式，揭示了我们周围世界中隐藏的数学规律，让我们重新审视那些看似平常的物体，并从中发现它们背后所蕴含的深刻智慧。本书将激发读者对科学的探索欲望，培养严谨的逻辑思维，并最终提升我们对宇宙万物运行机制的理解。它不仅仅是一本书，更是一次思维的旅行，一次探索自然之美的数学之旅。书中会详细阐述不同形状的肥皂膜所遵循的数学原理。例如，一个标准的圆形肥皂泡，在理想情况下，其表面必然是球形的一部分。这是因为在没有外力扰动的情况下，球形是相同体积下表面积最小的几何形状。书中将用数学语言来证明这一点，并解释为什么在这个过程中，表面张力扮演着关键的角色。同时，本书还会探讨当边界不再是简单的曲线时，肥皂膜会形成怎样的复杂曲面。例如，当我们将一个金属丝框浸入肥皂水中，然后取出时，它会形成一个具有特定形状的肥皂膜。这个膜面的形状，取决于金属丝框本身的几何形状。而数学的任务，就是用精确的语言来描述这个膜面的几何特性，并预测它的稳定性。书中还会深入讨论“光滑性”和“规则性”在肥皂膜中的体现。肥皂膜通常是光滑的，这意味着它没有尖锐的角或突兀的变化。这种光滑性并非偶然，而是由表面张力在所有方向上趋于均值所决定的。作者会介绍相关的数学概念，例如“光滑流形”等，来描述这种光滑的几何性质。对于一些更复杂的情况，例如多个肥皂泡碰撞在一起时，它们会形成一些特殊的结构，例如三维的十二面体或更复杂的形状。这些形状并非随意形成的，而是遵循着一些基本的几何和物理规则。书中将详细解析这些结构，并展示它们是如何在达到能量最低的状态下形成的。《肥皂膜的数学》还会涉及一些关于“自由边界问题”的讨论。肥皂膜的边界并不是固定的，它会随着形状的变化而移动。例如，当我们将一个肥皂膜放置在容器中时，其边界会与容器壁接触。这种“自由边界”的存在，使得问题的分析变得更加复杂，但也更加贴近现实。书中还可能触及到一些关于“曲率流”的思想。曲率流是一种描述曲面如何随着时间演变，并趋于平滑的数学模型。肥皂膜的形成和演变过程，在某种程度上可以被看作是一种曲率流的体现。通过理解曲率流，读者可以更深入地认识到，为什么肥皂膜会逐渐趋于达到能量最低的状态。总而言之，《肥皂膜的数学》是一本集趣味性、知识性和深刻性于一体的书籍。它将复杂的数学理论，以一种生动、直观、且与自然现象紧密相连的方式呈现给读者。本书不仅能满足那些对数学和科学充满好奇心的读者，也能为那些希望拓宽视野、理解世界运作规律的人们提供深刻的启示。它展示了，即使是最寻常的现象，也可能蕴含着最精妙的数学原理，而对这些原理的探索，将引领我们走向更深层次的认知和理解。

作者简介

John Oprea: Cleveland State University, Cleveland, OH

目录信息

Cover 1
Title 4
Copyright 5
Contents 8
Preface 12
Chapter 1. Surface Tension 16
§1.1. Introduction 16
§1.2. The Basics of Surface Tension 17
§1.3. Experiments with Soap Films 21
§1.4. The Laplace–Young Equation 28
§1.5. Plateau's Rules for Soap Films and Consequences 30
§1.6. A Sampling of Capillary Action 38
§1.7. Final Remarks 44
Chapter 2. A Quick Trip through Differential Geometry and Complex Variables 46
§2.1. Parametrized Surfaces 46
§2.2. Normal Curvature 52
§2.3. Mean Curvature 55
§2.4. Complex Variables 58
§2.5. Gauss Curvature 65
Chapter 3. The Mathematics of Soap Films 74
§3.1. The Connection 74
§3.2. The Basics of Minimal Surfaces 75
§3.3. Area Minimization and Soap Films 82
§3.4. Isothermal Parameters 87
§3.5. Harmonic Functions and Minimal Surfaces 90
§3.6. The Weierstrass- Enneper Representations 92
§3.7. The Gauss Map 101
§3.8. Stereographic Projection and the Gauss Map 106
§3.9. Creating Minimal Surfaces from Curves 110
§3.10. To Be or Not To Be Area Minimizing 120
§3.11. Constant Mean Curvature 129
Chapter 4. The Calculus of Variations and Shape 136
§4.1. Introduction 136
§4.2. Minimizing Integrals 139
§4.3. Necessary Conditions: Euler–Lagrange Equations 142
§4.4. Solving the Fundamental Examples 151
§4.5. Problems with Extra Constraints 161
Chapter 5. Maple, Soap Films, and Minimal Surfaces 174
§ 5.1. Introduction 174
§5.2. Fused Bubbles 174
§5.3. Capillarity: Inclined Planes 181
§5.4. Capillarity: Thin Tubes 187
§5.5. Minimal Surfaces of Revolution 190
§5.6. The Catenoid versus Two Disks 196
§5.7. Some Minimal Surfaces 207
§5.8. Enneper's Surface 214
§5.9. The Weierstrass–Enneper Representation 222
§5.10. Bjorling's Problem 236
§5.11. The Euler–Lagrange Equations 240
§5.12. The Brachistochrone 251
§5.13. Surfaces of Delaunay 258
§5.14. The Mylar Balloon 273
Bibliography 276
Index 280
A 280
B 280
C 280
D 280
E 280
F 280
G 280
H 281
I 281
L 281
M 281
N 281
O 281
P 281
R 281
S 281
T 281
W 281
Back Cover 282
· · · · · · (收起)

读后感

评分☆☆☆☆☆

用户评价

评分☆☆☆☆☆

这本书的封面设计简直是一场视觉盛宴，那种深邃的蓝色调和其中隐约可见的几何图形交织在一起，立刻就抓住了我的眼球。我一直对那些在自然界中隐藏的数学美学充满好奇，而这本似乎正是我一直在寻找的钥匙。从翻开扉页的那一刻起，我就被作者那种近乎诗意的叙述方式所吸引。他不是在简单地罗列公式和定理，而是在引导我们进入一个充满张力与和谐的微观世界。文字的流动性非常好，即便是面对那些初看起来相当复杂的概念，也能通过生动的比喻和精妙的插图（虽然我看到的只是电子版的预览，但可以想象实体书的质感）被巧妙地分解。我尤其喜欢其中关于表面张力的讨论，它不仅仅是物理学上的定义，更像是一种对“最小化努力”的哲学阐释。阅读过程中，我常常会停下来，闭上眼睛想象那些肥皂泡在空气中变化形态的瞬间，那种无声的演变里蕴含的数学逻辑，令人叹为观止。这本书的排版也十分考究，留白恰到好处，让读者的大脑有足够的空间去消化那些深刻的见解，而不是被密密麻麻的文字压垮。它给我的感觉，更像是一部艺术家的创作日志，记录了他与数学美之间产生的火花，而非一本刻板的教科书。

评分☆☆☆☆☆

我花了整整一个周末沉浸在这本书的文字海洋里，最大的感受是它极大地拓宽了我对“形变”和“边界条件”的理解。我原本以为这会是一本偏向理论物理或纯数学的著作，但它出乎意料地充满了实验精神和工程师的务实态度。作者在阐述某个特定拓扑结构时，会毫不避讳地提及制造过程中遇到的实际困难，比如材料的选取、环境湿度的控制，甚至是观察角度对结果判读的影响。这种“从泥土中开出花朵”的写作手法，让我觉得这本书的理论指导价值非常高。我特别留意了其中关于“ Plateau 问题”的章节，作者没有直接抛出拉格朗日乘子法，而是通过一个老式理发店里镜子反射形成的奇特图像，引导读者去体会为什么平面内的极小曲面必然是最小化的。这种自上而下的教学路径，让复杂的变分法变得触手可及，仿佛我手里正拿着一根细线，试图在两个固定点之间找到最短的路径。对于那些渴望将抽象数学应用于现实世界难题的读者来说，这本书无疑是一份宝贵的指南，它教会我们如何用数学的语言去“倾听”物质的低语。

评分☆☆☆☆☆

坦白说，这本书的学术深度是毋庸置疑的，但更让我惊喜的是它在跨学科交流方面所做的努力。我发现里面引用的文献资料跨越了数学、物理、化学，甚至触及到了一些古典建筑学中的拱顶结构理论。这种广阔的视野，使得这本书不再局限于单一的学科框架，而是构建了一个宏大的“最小化原理”的生态系统。我尤其欣赏作者在讨论数学模型局限性时表现出的那种诚实和谦逊。他没有把模型描绘成万能的真理，而是清晰地指出了在处理非牛顿流体或极端温度下的薄膜行为时，现有模型可能存在的误差区间和需要改进的方向。这种对知识边界的清晰界定，反而增强了我对这本书的信任感。它不是那种故作高深的学术论文，而是坦诚地与读者进行一场关于“我们知道什么，我们还不知道什么”的深入对话。读完这些章节，我感觉自己像是参与了一场高级别的学术研讨会，不仅吸收了知识，还学习了如何批判性地看待和发展现有的理论体系。

评分☆☆☆☆☆

这本书的叙事节奏掌控得非常娴熟，它像是一部精心编排的交响乐。开篇是轻快的、引人入胜的引子，迅速将读者带入一个充满柔和曲线的世界；中间部分则进入了高潮，各种复杂的微分几何和拓扑学工具被逐一引入，节奏变得紧凑而富有张力；而当读者感到有些吃力时，作者总会适时地穿插一些历史轶事或趣味性的数学悖论，让你喘口气，调整好节奏，然后再次投入更深层次的探索。我特别喜欢其中关于“赫尔曼·冯·亥姆霍兹”的传记式描述，它将理论的诞生背景与科学家的个人奋斗紧密联系起来，使得冰冷的数学定理充满了人情味。这种叙事策略极大地降低了阅读的枯燥感。对于那些习惯了快速阅读和碎片化信息的现代读者来说，这本书提供了一种难得的、可以慢下来细细品味的阅读体验。它要求专注，但回报以深刻的理解和对知识本身的敬畏感。

评分☆☆☆☆☆

如果非要我挑剔一点的话，这本书的某些章节在引入高级数学工具时，对背景知识的假设略显仓促。例如，在讲解曲面张力平衡的拉普拉斯方程时，对于不熟悉高等微积分的读者来说，可能需要频繁地查阅参考资料。然而，话又说回来，如果作者要详尽地解释每一个前提，这本书的篇幅恐怕会翻倍，并且会损害其核心主题的连贯性。因此，这更像是一个权衡后的选择，而不是一个硬伤。总的来说，这本书成功地搭建了一座连接日常现象和前沿数学研究的坚固桥梁。它让我对“薄膜”这个简单的概念产生了全新的敬畏。我不再仅仅将肥皂泡视为一种转瞬即逝的童趣，而是看到了其中蕴含的稳定性和最小化能量的宇宙驱动力。这本书的价值在于，它不仅仅教会了你知识，更重要的是，它改变了你看待世界的方式，让你开始在每一个弯曲的表面下，寻找那隐藏的、优雅的数学规律。这是一本值得反复阅读和思考的佳作。

评分☆☆☆☆☆