Mathematical Fallacies and Paradoxes pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:Dover Pubns

作者:Bunch, Bryan H.

出品人:

页数:224

译者:

出版时间:1997-7

价格:$ 12.37

装帧:Pap

isbn号码:9780486296647

丛书系列:

图书标签:

• 数学
• 数学谬误
• 数学悖论
• 逻辑思维
• 数学史
• 批判性思维
• 数学哲学
• 趣味数学
• 数学普及
• 问题解决
• 数学教育

好的，这是一本名为《Mathematical Fallacies and Paradoxes》的书籍的详细简介，内容完全侧重于该书可能涵盖的领域，而不涉及该书本身的内容。 --- 《Mathematical Fallacies and Paradoxes》书籍简介 聚焦于数学推理的陷阱与悖论的探索之旅 导言：探寻逻辑的边界 数学，作为人类理性思维的最高成就之一，以其严谨的逻辑和无可辩驳的确定性著称。然而，在宏伟的数学大厦之下，隐藏着一些令人困惑的角落——那些看似合乎逻辑却最终导致荒谬结论的谬误，以及那些挑战我们直觉、迫使我们重新审视基本概念的悖论。本书旨在带领读者深入探究这些数学推理中的“陷阱”与“迷宫”，揭示那些在历史长河中困扰过无数数学家的思维难题。 我们关注的焦点并非仅仅是展示错误，而是深入剖析为什么这些错误会发生，以及它们如何反映了人类直觉在面对抽象概念时的局限性。通过对经典和现代数学谬误及悖论的细致解构，本书旨在提升读者的批判性思维能力，加深对数学基础结构的理解。 --- 第一部分：经典推理的陷阱——谬误的类型学 本部分系统地梳理了数学推理中最常见、也最容易被忽视的逻辑错误类型。这些错误往往披着严密证明的外衣，只有通过细致的检验才能暴露其内在的缺陷。 一、 零除与无限的滥用 本章着重分析了在涉及零和无穷大时的常见陷阱。 除以零的诱惑： 探讨为什么 $a/b = c$ 蕴含 $a = b imes c$ 的逻辑在 $b=0$ 时崩溃。我们将通过一系列“证明” $1=2$ 的经典例子，展示如何通过隐性地除以一个依赖于零的量，构建出看似无可指摘的伪证明。 无穷序列的收敛性陷阱： 分析在处理无穷级数和不确定形式（如 $infty - infty$ 或 $0 imes infty$）时，如何错误地假设某些代数规则可以无限制地应用于无限量。我们将考察黎曼级数重排定理（Riemann Rearrangement Theorem）的深刻含义，以及它如何挑战我们对“和”的直觉理解。 二、 错误的归纳与特例外推 数学归纳法是强大的工具，但其前提和步骤的微小偏差足以导致灾难性的结论。 归纳基础与步进的疏漏： 详细分析那些归纳基础正确，但在归纳步骤中未能充分覆盖所有情况的例子。我们将研究涉及集合划分、几何构造（如“所有三角形都是等边三角形”）的经典反例，揭示其内在的跳跃点。 过度概括： 讨论如何从有限的观察结果中得出普遍性的数学结论，尤其是在数论和组合学中，这种直觉性的错误是多么普遍。 三、 连续性与离散性的混淆 在微积分的早期发展中，对极限和连续性的模糊理解导致了许多误解。 函数不连续点的处理： 考察那些在特定点上表现出剧烈不连续性（如狄利克雷函数）的函数，展示在进行积分或微分运算时，如果不严格检查连续性假设，会产生何种结果。 选择公理的阴影： 虽然更偏向于集合论，但我们将触及选择公理（Axiom of Choice）在构建一些反直觉的数学对象时所扮演的角色，例如巴拿赫-塔斯基悖论（Banach-Tarski Paradox）的背景，这些对象挑战了我们对“体积”和“可测性”的朴素认识。 --- 第二部分：逻辑的深渊——数学悖论的哲学意蕴 本部分将视野转向那些更深层次的、挑战数学自身一致性的悖论。这些悖论往往不是简单的代数错误，而是源于我们对基本概念（如集合、定义、真值）的根本假设。 四、 集合论的早期危机 19世纪末至20世纪初，集合论的快速发展带来了前所未有的危机，暴露了朴素集合论的内在矛盾。 罗素悖论（Russell's Paradox）的精妙： 详细剖析“所有不包含自身的集合的集合”这一构造，展示了如何在不依赖于任何复杂数学的情况下，仅凭对“集合”的直觉定义，就能推导出逻辑上的自我矛盾。我们将探讨这如何催生了更严格的公理化集合论（如ZFC）。 布拉里-福蒂悖论（Burali-Forti Paradox）： 探讨有序集合的集合是否可以被良好排序的问题，这与序数（ordinals）的概念紧密相关，揭示了无限的层级结构中隐藏的危险。 五、 几何学与直觉的冲突 在非欧几何出现后，传统欧氏几何的“不证自明”的公理受到了挑战。 平行公设的命运： 回顾对欧几里得第五公设的数百年的尝试，最终导致了罗巴切夫斯基和黎曼几何的诞生。本章将展示，当改变一个看似最基础的公理时，整个几何体系如何保持内部一致性，但却与我们的日常经验产生巨大偏差。 拓扑学的“怪兽”： 介绍克莱因瓶（Klein Bottle）和莫比乌斯带（Möbius Strip）等对象，它们在四维甚至更高维空间中才能被完全理解，它们挑战了我们对“内部”和“外部”、“定向”的传统观念。 六、 可计算性与停机问题的阴影 在20世纪，数学与逻辑的交汇点——可计算性理论——带来了关于“什么是可证明的”的深刻哲学拷问。 哥德尔不完备定理的数学结构： 深入探讨哥德尔如何利用自指（self-reference）的概念，构造出一个在形式系统中无法被证明也无法被证伪的数学命题。这不是一个简单的谬误，而是关于任何足够强大的形式系统必然存在的局限性的深刻洞见。 图灵的停机问题： 分析图灵对“通用计算”的定义，以及为什么存在一个明确的、数学上可定义的问题，是任何算法都无法解决的。这对于我们理解“可解性”的边界具有决定性意义。 --- 结论：从谬误中提炼真理 本书的最终目的并非是制造混乱，而是通过解析这些历史性的错误和深刻的悖论，来提升读者对数学思维的敬畏感和精确度。每一个谬误都是一个警钟，提醒我们逻辑链条的任何一个环节出错，都可能导致整个论证的瓦解。每一次对悖论的深入思考，都将拓宽我们对数学对象本质的理解。通过这种审视，我们能够更清晰地认识到数学的严谨性是如何一步步建立起来的，以及它所依赖的那些微妙而关键的假设。本书是献给所有对逻辑的精确性充满好奇心，并愿意直面数学深层挑战的读者的一份指南。

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