Introductory Mathematics, Applications and Methods pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:Springer Verlag

作者:Marshall, Gordon Stanley

出品人:

页数:226

译者:

出版时间:

价格:36.95

装帧:Pap

isbn号码:9783540761792

丛书系列:Springer Undergraduate Mathematics Series

图书标签:

• 数学
• 入门
• 应用
• 方法
• 基础
• 高等教育
• 教材
• 数学分析
• 代数
• 微积分

好的，这是一本关于数学基础、应用和方法论的入门级教材的简介，旨在为读者提供坚实的数学思维框架和实际应用能力。 --- 《纯粹数学原理：逻辑、结构与解析》 概述 本书《纯粹数学原理：逻辑、结构与解析》旨在为初学者和希望系统性回顾数学基础的读者提供一个全面而深入的导引。我们摒弃了传统入门教材中常见的碎片化叙述，转而采用一种结构化、逻辑驱动的方式，带领读者从最基本的概念出发，逐步构建起高等数学的宏伟蓝图。全书强调数学思维的严谨性、概念的精确定义以及理论之间的内在联系。 本书并非侧重于计算技巧的堆砌，而是致力于揭示数学背后的思想和方法论。我们将数学视为一种理解世界、构建模型和解决复杂问题的强大工具，而非仅仅是抽象的符号游戏。 第一部分：逻辑基石与集合论的构建 (Foundations of Logic and Set Theory) 本部分是全书的理论基石。我们从形式逻辑的视角出发，探讨命题演算、谓词逻辑，并引入推理的有效性与可靠性原则。理解数学语言的精确性是掌握后续内容的前提。 形式逻辑与证明： 深入讲解直接证明、反证法、数学归纳法（作为一种强大的结构化推理工具）以及构造性证明的哲学基础。 朴素集合论： 详细阐述集合的定义、基本运算（并、交、差、幂集）。重点讨论罗素悖论及其对公理化集合论的启发。 关系与函数： 严格定义关系、等价关系、偏序关系，并详细分析函数的性质（单射、满射、双射）。通过对这些基本结构的清晰理解，为后续的代数和分析打下基础。 第二部分：代数结构与抽象化思维 (Algebraic Structures and Abstraction) 本部分将读者的视角从具体的数字扩展到抽象的结构。我们探讨代数系统如何通过一组公理来定义其行为模式，从而实现知识的迁移和推广。 数系扩展： 从自然数到整数、有理数、实数。重点关注实数系统的完备性（如Lindeberg-Dedekind截面法），这是微积分能够成立的关键。 群论初探： 作为最基本的代数结构，群的定义、子群、陪集、同态与同构。我们通过对称性、晶体结构等实例来展示群论的直观应用。 环与域： 引入更复杂的结构——环，并探讨其作为“带乘法和加法的结构”。重点分析整数环、多项式环，并初步接触域的概念，如有限域。 第三部分：拓扑与度量空间 (Topology and Metric Spaces) 本部分是连接离散数学与连续数学的桥梁。我们超越了欧几里得空间的直观几何，转而研究空间本身的性质，即“邻近性”和“连通性”。 度量空间基础： 定义度量空间，距离函数的要求，以及球、开集、闭集的定义。讨论拓扑结构如何由度量诱导。 收敛性与连续性： 在一般度量空间中重新定义序列收敛、极限和连续函数。强调这些概念的普适性，使其适用于更广泛的函数空间。 拓扑性质： 介绍紧致性（Compactness）和连通性（Connectedness）。紧致性的引入对于证明许多分析学定理至关重要，它取代了有限区间上的直观经验。 第四部分：微积分的严格化与极限理论 (Rigorous Calculus and Limit Theory) 本部分致力于用前几部分建立的严格基础来重新审视传统微积分。我们不再满足于“足够小”的描述，而是使用$varepsilon-delta$语言来精确表达极限、导数和积分的本质。 实分析的开端： 重新审视极限的$varepsilon-delta$定义及其在函数序列中的应用。 连续性与一致收敛： 深入探讨连续函数的性质，尤其是区分点态收敛与一致收敛的重要性。一致收敛是保证交换极限顺序（如微分与积分的交换）的关键。 黎曼积分的严谨性： 详细分析黎曼可积性的充要条件，以及上和、下和的概念。这为后续的勒贝格积分奠定了必要的对比基础。 导数的几何与分析意义： 结合均值定理和泰勒定理，展示导数在局部近似和全局行为分析中的核心地位。 第五部分：线性代数——向量空间的通用语言 (Linear Algebra: The Universal Language of Vector Spaces) 线性代数被视为现代科学的通用语言。本书从向量空间的公理化定义入手，强调其结构而非仅仅是矩阵的运算。 向量空间与子空间： 严格定义向量空间的公理体系，以及线性组合、张成、线性无关性和基的概念。 线性变换与矩阵表示： 深入理解线性变换的本质，以及矩阵如何作为在特定基下的线性变换的表示。 特征值问题： 讨论相似性、对角化、特征值和特征向量的计算。重点在于理解它们在系统动力学和稳定性分析中的意义。 内积空间与正交性： 引入内积的概念，构建欧几里得空间和希尔伯特空间的基础，讨论正交投影和最小二乘法的几何意义。 学习目标 完成本书的学习后，读者将不仅掌握必需的数学计算技能，更重要的是，能够： 1. 以严谨的逻辑构建数学论证，并能识别无效的推理。 2. 理解抽象结构（如群、环、向量空间）背后的核心思想，并能将其应用于不同学科领域。 3. 区分直觉概念（如“接近”）与精确定义（如拓扑极限）。 4. 为进一步深入学习实分析、抽象代数、微分几何或专业应用领域（如理论物理、高级工程）打下无可动摇的理论基础。 本书的写作风格力求清晰、精确，避免不必要的术语堆砌，确保读者在面对数学的深度时，仍能感受到其内在的美感和逻辑的和谐。

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