Nonnegative Matrices and Applications pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:Cambridge Univ Pr

作者:Bapat, R. B./ Raghavan, T. E. S.

出品人:

页数:356

译者:

出版时间:1997-3

价格:$ 176.28

装帧:HRD

isbn号码:9780521571678

丛书系列:

图书标签:

• 数学
• math
• economics
• 非负矩阵
• 矩阵论
• 数值线性代数
• 优化
• 图论
• 信号处理
• 机器学习
• 数据分析
• 运筹学
• 应用数学

好的，这是一本关于《线性代数基础与进阶主题》的图书简介，旨在为读者提供一个全面且深入的线性代数学习路径，内容涵盖了经典理论、现代应用以及前沿研究方向，绝不涉及您提到的特定书籍《Nonnegative Matrices and Applications》的内容。 --- 图书简介：《线性代数基础与进阶主题：理论构建、数值方法与现代应用》 导言：线性代数的现代视野 线性代数是现代科学、工程、经济学乃至数据科学的基石。它不仅仅是关于向量和矩阵的运算，更是一种强大的抽象思维工具，用以描述和解决从物理系统到复杂数据结构中的线性关系。本书旨在构建一个扎实且富有洞察力的线性代数知识体系，其深度和广度超越了传统的入门教材，直抵理论研究的前沿与实际应用的交汇点。 本书的结构设计遵循“理论奠基—方法论深化—前沿探索”的逻辑链条。我们首先系统回顾并巩固欧几里得空间、线性方程组和基础矩阵理论，随后迅速过渡到特征值理论的精髓，并在此基础上，详尽阐述数值线性代数的关键算法、矩阵分解的威力，以及线性代数在现代计算科学中的核心地位。 第一部分：理论的坚实地基（基础与核心概念的重构） 本部分致力于夯实读者的理论基础，确保对线性代数的核心概念有深刻的理解，而非停留在机械运算层面。 第一章：向量空间与线性映射的拓扑视角 我们从抽象向量空间（包括有限维和无限维空间）的严格定义出发，深入探讨子空间、基与维度的概念。重点解析线性映射（或称为线性变换）如何作为连接不同空间的桥梁。本章将强调同构、商空间（因子空间）的概念，并利用米哈拉（Milnor）和斯蒂因罗德（Steinrod）的视角，阐述同态定理（Isomorphism Theorems）的普适性，为理解抽象代数打下基础。 第二章：线性方程组的求解与几何直觉 本章重新审视线性方程组 $mathbf{Ax}=mathbf{b}$ 的求解问题。除了高斯消元法（Gauss Elimination）及其行阶梯形式的计算，我们更侧重于从秩理论（Rank Theorem）的角度理解解集的结构。通过分析矩阵的列空间、零空间和行空间之间的关系，读者将建立起求解过程背后的几何直觉，理解为什么某些系统有唯一解、无解或无穷多解。 第三章：内积空间与正交性几何 内积（或点积）的引入将线性代数从单纯的代数结构提升到具有度量和角度概念的几何结构。本章详细阐述欧几里得空间、酉空间（Unitary Space）的性质，并重点介绍施密特正交化（Gram-Schmidt Orthonormalization）算法及其在投影理论中的应用。正交投影定理是理解最小二乘问题的关键，本书将以此为核心，为后续的数值方法做铺垫。 第二部分：特征值理论的深度挖掘与矩阵分解的威力 特征值（Eigenvalues）和特征向量（Eigenvectors）是理解动态系统和矩阵行为的核心。本部分将特征值理论提升到代数结构层面，并引入多种重要的矩阵分解技术。 第四章：特征值、特征向量与相似性 本章深入探讨特征多项式、最小多项式以及特征空间的结构。我们详细区分代数重数和几何重数，并引入Jordan标准型（Jordan Canonical Form）作为分析不可对角化矩阵的终极工具。对于复数域上的矩阵，本章将论证Schur分解的理论基础，为后续的数值稳定性分析奠定基础。 第五章：矩阵分解：结构化的视角 矩阵分解被视为揭示矩阵内在结构的“手术刀”。本书系统性地介绍以下关键分解： 1. LU 分解（与置换）： 探讨其在直接求解法中的效率与稳定性。 2. QR 分解： 详细阐述 Gram-Schmidt 方法和 Householder 反射在生成正交矩阵中的应用，这是数值稳定性的基石。 3. SVD（奇异值分解）： 被誉为线性代数中最强大的工具之一。本章将从几何意义（对坐标系的旋转、缩放、再旋转）上解释 SVD，并展示其在秩、伪逆（Moore-Penrose Inverse）计算中的核心作用。 第六章：对称矩阵与二次型 针对实对称矩阵和复共轭对称矩阵（Hermitian Matrices），本章将集中讨论谱定理（Spectral Theorem）的强大结论——它们总能被正交相似对角化。这直接引向二次型（Quadratic Forms）的分析，包括正定性、半正定性的判据（如 Sylvester 定理），这对于优化理论和物理学中的能量分析至关重要。 第三部分：数值线性代数的算法与计算挑战 理论的优雅必须通过可靠的算法来实现。本部分专注于数值计算的实践，讨论计算的效率、稳定性和精度问题。 第七章：迭代法基础：大型稀疏系统的求解 对于维度极高或矩阵高度稀疏的问题（如有限元分析中的系统），直接法（如高斯消元或LU分解）的计算成本过高。本章引入了迭代求解方法： 1. 雅可比法（Jacobi）与高斯-赛德尔法（Gauss-Seidel）： 分析其收敛条件和速率。 2. 共轭梯度法（CG）： 作为无约束优化问题的精确迭代解法，我们将从变分原理的角度推导其构建过程，并讨论其在正定系统中的优势。 第八章：特征值的数值计算 特征值的数值计算是数值线性代数中最具挑战性的领域之一。本章探讨主流算法： 1. 幂迭代法（Power Iteration）与反幂迭代法（Inverse Iteration）： 用于寻找最大/最小特征值及其对应的特征向量。 2. QR 算法的演化： 从基础的 QR 迭代，到如何通过 Hessenberg 约简（Hessenberg Reduction）提高效率，再到引入 Shifts（如 Rayleigh 商 Shift）加速收敛，完整展示了现代特征值求解器的构造逻辑。 第四部分：线性代数的前沿应用与拓展领域 本部分将线性代数的工具箱应用于现代计算科学中的关键领域，展示其作为跨学科语言的强大生命力。 第九章：优化与对偶性：线性规划的代数视角 线性规划（Linear Programming, LP）是运筹学和决策科学的核心。本章从线性代数（特别是约束集和可行域）的角度，系统性地介绍单纯形法（Simplex Method）的代数基础。重点阐述最优解的几何意义（顶点解）以及对偶理论（Duality Theory）如何揭示原问题与对偶问题之间的深刻联系。 第十章：张量分析与高维数据的几何 随着大数据时代的到来，张量（多维数组）已成为描述复杂数据结构（如多模态数据、医学影像）的自然工具。本章将线性代数概念推广到张量空间，介绍张量的秩的概念、张量分解（如 Tucker 分解和 CANDECOMP/PARAFAC (CP) 分解）及其在降维和特征提取中的应用，展示矩阵分解思想在更高维度上的自然延伸。 附录：抽象代数与域的拓展 为希望深入理论根源的读者提供补充材料，简要回顾域（Fields）的概念、多项式环上的代数结构，以及线性代数理论在更广阔的抽象代数框架下的定位。 --- 本书特色： 理论深度与计算实践的完美结合： 每一理论章节后均配有对相应算法稳定性和效率的讨论。 几何洞察驱动： 强调线性变换、子空间投影在二维、三维空间中的直观几何解释。 现代性聚焦： 重点涵盖了 SVD、QR 分解、迭代法以及张量分析等现代计算科学中的核心工具。 本书适合于数学、物理、计算机科学、工程学、经济学等专业的高年级本科生、研究生，以及需要系统回顾和深化线性代数知识的科研人员和工程师。通过本书的学习，读者将能够熟练掌握从经典理论到前沿算法的全景图，真正运用线性代数的力量解决复杂问题。

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