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出版者:Springer Verlag

作者:Mumford, David

出品人:

页数:0

译者:

出版时间:

价格:49.95

装帧:Pap

isbn号码:9780387586571

丛书系列:

图书标签:

• 数学科学
• 代数几何7
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• 代数簇
• 射影空间
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• 理想理论

代数几何导论 本书旨在为读者提供代数几何领域一个坚实而全面的基础。代数几何是一门融合了抽象代数、拓扑学和几何直觉的迷人学科，它研究由多项式方程组定义的几何对象，即代数簇。本书将带领读者从最基本的概念出发，逐步深入到代数几何的核心思想和技术，为进一步探索更高级的主题打下坚实的基础。 第一章：环与模 代数几何的语言是交换代数，因此，本书首先从交换代数的基石——环和模——开始。我们将详细讨论： 环的定义与性质： 介绍交换环、单位环、整环、域等基本概念。我们将探讨环的理想、商环、同态等结构，并学习如何用理想来刻画环的性质。特别地，我们将深入研究主理想整环（PID）和唯一因子分解整环（UFD），它们在代数几何中扮演着重要的角色。 模的概念： 将向量空间的思想推广到任意环上，引入模的概念。我们将学习自由模、有限生成模、扭转模等，并研究模的子模、商模、直积等结构。理解模的结构对于研究代数簇的几何性质至关重要。 多项式环： 作为代数几何中最核心的代数结构之一，我们将仔细研究多项式环的性质。我们将介绍多项式环的唯一因子分解性质，以及在代数闭域上的多项式环与代数簇之间的深刻联系（希尔伯特零点定理）。 诺特环与阿廷环： 这两类特殊的环在代数几何中具有非凡的意义。我们将详细阐述它们的定义、性质以及相互关系。诺特环保证了理想链的有限性，这使得我们可以运用归纳法等证明技巧。阿廷环则具有有限的链长，具有更强的结构性。 第二章：代数簇的引入 在建立了必要的代数工具后，我们将正式引入代数几何的研究对象——代数簇。 仿射代数簇： 我们将从最简单的形式——仿射代数簇——开始。介绍仿射空间 $k^n$ 的概念，以及由多项式方程组定义的仿射代数簇 $V(I)$。我们将学习如何从代数方程组出发构造几何对象，以及如何从几何对象出发寻找其对应的代数方程组。 理想与簇的对应关系： 希尔伯特零点定理是连接代数与几何的桥梁。我们将详细证明这个定理，并阐述理想 $I$ 与它所定义的簇 $V(I)$ 之间的双射对应关系，以及坐标环 $k[V]$ 的概念。 代数簇的结构： 我们将讨论代数簇的维数、不可约性、连通性等几何性质。理解代数簇的不可约性对于研究其整体结构至关重要。 多项式映射： 介绍代数簇之间的态射（morphisms），即由多项式函数定义的映射。我们将学习如何刻画多项式映射的代数性质，以及它们在代数簇之间建立的联系。 第三章：射影代数簇 为了克服仿射代数簇在“无穷远点”上的局限性，我们将引入射影空间和射影代数簇。 射影空间： 定义射影空间 $P^n(k)$，并介绍齐次坐标的概念。我们将研究射影空间上的代数簇，以及它们与仿射代数簇之间的关系。 齐次理想： 介绍齐次理想的概念，以及齐次理想与射影簇之间的对应关系。 射影代数簇的性质： 讨论射影代数簇的维数、不可约性等性质，并介绍一些重要的射影代数簇，例如射影直线 $P^1(k)$ 和射影平面 $P^2(k)$。 第四章：概形论基础（简要介绍） 尽管本书主要聚焦于经典代数几何，但为了给读者勾勒出更广阔的视野，我们将简要介绍概形论的一些基本思想。 环的谱： 介绍环的谱 $ ext{Spec}(R)$ 的概念，它是一个拓扑空间。我们将理解谱如何作为代数对象的一种几何“体现”。 层（Sheaves）： 简要介绍层的概念，以及如何在拓扑空间上定义层。层是刻画代数簇局部性质的重要工具。 概形： 简单介绍概形的定义，它是“局部地看像仿射概形”的拓扑空间。这将为读者理解现代代数几何的语言打下初步的基础。 第五章：代数簇的性质与重要例子 本章将深入探讨一些重要的代数簇的性质，并通过具体的例子来巩固读者对前面概念的理解。 光滑性： 引入代数簇的光滑性概念，并讨论光滑点与奇点的区别。光滑性在几何分析和微分几何中有重要的应用。 曲线的分类： 以亏格（genus）为线索，简要介绍代数曲线的分类，例如平面代数曲线的亏格公式。 二次曲线与二次曲面： 详细研究二次曲线（椭圆、抛物线、双曲线）和二次曲面（球面、圆锥面、抛物面、双曲面）的代数与几何性质。 代数群： 介绍代数群的概念，它是在代数簇结构上配备了群运算的数学对象，具有丰富的理论和广泛的应用。 本书特色： 循序渐进： 从最基础的代数概念出发，逐步构建起代数几何的理论体系，适合初学者。 理论与实例结合： 在讲解抽象概念的同时，辅以大量的具体例子，帮助读者深入理解理论。 严谨的证明： 强调数学证明的严谨性，帮助读者培养数学思维。 广泛的视角： 在经典代数几何的基础上，对现代代数几何的关键思想进行初步介绍，为读者未来的学习指明方向。 通过学习本书，读者将能够掌握代数几何的核心概念和基本方法，为进一步深入研究代数几何的各个分支（如微分代数几何、算术代数几何、复代数几何等）打下坚实的基础。本书不仅是学习代数几何的入门读物，也是一份探索数学之美、领略抽象思维魅力的宝贵财富。

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这部著作，从第一页开始就展现出一种令人敬畏的严谨性。它犹如一座由逻辑和结构精心搭建而成的宏伟殿堂，每一个定理、每一个推论都像是经过千锤百炼的基石，稳固地支撑着整个知识体系的上层建筑。作者的叙述风格是如此的内敛而精准，仿佛在用最少的笔墨勾勒出最深刻的数学洞察。对于那些渴望真正领会代数几何精髓的读者而言，这本书无疑是一次艰苦卓绝却又收获丰厚的朝圣之旅。它不满足于提供直观的几何解释，而是坚持从代数结构出发，层层递进地揭示其内在的深刻联系。初次接触这些概念时，可能会感到巨大的抽象压力，每一个定义都要求读者对其背后的动机和背景有深刻的理解。然而，一旦跨过最初的门槛，那种“豁然开朗”的体验是无与伦比的，它证明了作者在组织材料时所付出的巨大心血，每一个章节的安排都服务于最终构建一个完整而和谐的数学图景的目标。这本书的价值，不在于它教会了你多少现成的工具，而在于它塑造了你观察和思考代数结构的方式。

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这本书的行文风格非常古典，充满了对数学概念的尊重和对清晰性的不懈追求。它仿佛是作者在向后辈传达他毕生对这个领域的精粹理解，每一句话都经过了反复的斟酌，力求达到数学表达的最高境界——精确而不冗余。虽然它对读者的背景要求很高，但一旦读者能够跟上其步伐，这本书提供的视角将是其他任何教材都无法比拟的。它迫使你跳出单一的坐标系思维，进入一个更抽象、更具内在一致性的世界。学习的过程充满了“啊哈”时刻，这些时刻不是因为简单的计算被解决，而是因为你开始理解了整个数学体系内部不同分支是如何通过代数这座桥梁相互连接和呼应的。这本书无疑是代数几何领域的里程碑式著作，值得反复研读和珍藏。

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阅读体验如同置身于一个精心维护的古典花园中，每走一步都能感受到数学家们对美的极致追求。这本书的语言是如此的富有音乐性，即便是在处理最为复杂的构造时，作者依然保持着一种近乎诗意的克制。它不是一本“速成”指南，更像是一份需要沉下心来，反复咀嚼、时常回顾的经典文献。我尤其欣赏作者在引入关键概念时所采用的迂回而又必然的路径，这使得读者在最终理解时，不仅知道“是什么”，更清晰地明白了“为什么必须如此”。对于那些习惯于直接展示结果的现代教材而言，这本书提供了一种截然不同的、更具历史纵深感的学习体验。它要求读者主动地去填充细节，去追溯灵感的源泉，这种“主动参与”的过程极大地加深了对知识的内化。对于希望将代数几何视为一种深刻的哲学思考而非仅仅是计算技巧的读者来说，此书提供的视角是无可替代的。

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这本书的组织结构体现了一种高超的编排艺术，它不像某些教材那样将所有难度集中在后半部分，而是从一开始就设定了一个很高的智力门槛。作者在开篇部分对基础概念的构建是如此的细致，但这种细致并非为了降低理解难度，而是为了确保后续所有推导都建立在绝对坚固的基础上。阅读时，我时常需要停下来，查阅并回顾其他领域的知识，才能完全跟上作者的思路。这本书的魅力在于它的普适性——它不仅仅是在讨论特定的几何对象，而是在探讨一种处理复杂拓扑与代数交织问题的通用框架。那些关于范畴论、概形理论的早期铺垫，其重要性需要你在读到后续章节时才能完全体会。这是一种“延迟满足”的教学法，它奖励那些有耐心、能够看到长远结构布局的读者。

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坦白说，这本书的难度曲线是陡峭得惊人的，它毫不留情地将初学者晾在冷风中，要求读者必须具备扎实的预备知识和坚韧不拔的意志。它很少提供直白的例子来“安抚”读者，而是专注于建立理论的骨架。这种处理方式的优点在于，一旦你掌握了其中的逻辑，你就能以同样的方法去处理任何更复杂的结构。它的深度使得许多其他介绍性材料显得浅尝辄止。每一次翻阅，都能发现之前遗漏的细微之处，那些看似不经意的批注，实则蕴含着深刻的洞见。这本书更像是一套严密的法律条文，要求读者精确地理解每一个措辞的含义，任何理解上的松懈都可能导致后续逻辑链条的断裂。对于那些习惯于被“手把手”教学的读者来说，这无疑是一次严峻的考验，但对于那些追求数学真理的探险家来说，这里埋藏着最丰厚的宝藏。

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