Hilbert's Tenth Problem pdf epub mobi txt 电子书下载 2026

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出版者:Cambridge University Press

作者:Alexandra Shlapentokh

出品人:

页数:330

译者:

出版时间:2006-11-9

价格:GBP 27.20

装帧:Hardcover

isbn号码:9780521833608

丛书系列:

图书标签:

计算机科学
数论
丢番图方程
不可解性
希尔伯特问题
算法
计算理论
数学逻辑
整数论
代数数论
递归论

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具体描述

In the late sixties Matiyasevich, building on the work of Davis, Putnam and Robinson, showed that there was no algorithm to determine whether a polynomial equation in several variables and with integer coefficients has integer solutions. Hilbert gave finding such an algorithm as problem number ten on a list he presented at an international congress of mathematicians in 1900. Thus the problem, which has become known as Hilbert's Tenth Problem, was shown to be unsolvable. This book presents an account of results extending Hilbert's Tenth Problem to integrally closed subrings of global fields including, in the function field case, the fields themselves. While written from the point of view of Algebraic Number Theory, the book includes chapters on Mazur's conjectures on topology of rational points and Poonen's elliptic curve method for constructing a Diophatine model of rational integers over a 'very large' subring of the field of rational numbers.

《数学的边界：哥德尔、图灵与不可判定性》内容简介本书深入探讨了二十世纪数学史上最深刻的危机与革命，重点聚焦于奠定现代计算机科学与数理逻辑基石的那些关键性突破。它并非仅仅是一部关于抽象符号操作的著作，而是一部关于人类心智局限性、逻辑完备性探索以及数学本质的哲学史诗。第一部分：数学的黄金时代与危机的阴影故事始于十九世纪末期，在欧几里得几何的坚实基础上，大卫·希尔伯特（David Hilbert）构筑了宏伟的数学大厦。希尔伯特坚信，通过一套完备、一致且可判定的公理系统，数学的全部真理都可以被形式化、被证明。他提出的二十三个问题，特别是其一致性问题（即第十个问题之外的关于形式系统可判定性的哲学诉求），成为了新世纪数学家追求的灯塔。本部分将详细梳理这一时期数学哲学思潮的演变，从直觉主义的质疑到逻辑主义的雄心勃勃。我们将考察弗雷格（Frege）的《概念文字》的初衷与挫折，以及罗素（Russell）悖论如何一击粉碎了朴素集合论的堡垒，揭示了看似坚不可摧的数学基础内部存在的深刻裂痕。第二部分：逻辑的极限：哥德尔的震撼本书的核心部分，将细致剖析库尔特·哥德尔（Kurt Gödel）在 1931 年发表的划时代成果——不完备性定理。我们将以一种清晰且富有历史背景的方式，阐释“可计算性”、“形式化系统”和“可证明性”之间的微妙关系。哥德尔如何通过精妙的“哥德尔编码”，将关于数字的陈述转化为关于自身陈述的陈述（自指现象），从而构造出了一个在任何足够强大的算术系统内都无法被证明也无法被证伪的命题——“G”。我们将探讨这两个定理的深远影响： 1. 第一不完备性定理：任何包含基础算术的、可靠的（即其中所有可证明的命题都为真）形式系统，必然是不完备的——总存在可以被清晰陈述但无法在该系统内被证明或证伪的数学命题。这直接挑战了希尔伯特对“所有数学真理皆可证明”的信念。 2. 第二不完备性定理：这样的系统无法证明其自身的可靠性。要证明一个系统的可靠性，必须诉诸一个更强大的系统，从而形成了一个永无止境的追溯链条。本书将深入分析哥德尔思想的哲学重量：数学知识的界限究竟在哪里？逻辑的边界是否也构成了我们认知能力的边界？第三部分：可计算性的诞生与图灵的机器在哥德尔发布其成果的同时，逻辑学界正在寻求一个确切的定义来描述“什么是算法”或“什么是可有效计算的”。这一部分聚焦于阿兰·图灵（Alan Turing）的工作。我们将详细介绍图灵在 1936 年提出的“图灵机”这一抽象模型。图灵机不仅仅是一个理论构造，它提供了一个普适的、可操作的计算模型。本书将解释图灵如何利用这台假想的机器，解决了“通用性”的概念，定义了“可计算函数”。随后，我们将看到图灵如何利用其机器的概念，简洁而优雅地证明了停机问题（The Halting Problem）的不可解性——即不存在一个通用的算法，能够判断任意给定的程序和输入是否会最终停止运行。本书会详细阐释图灵机与哥德尔不完备性定理之间的深刻同构关系。不可判定性（Undecidability）不再仅仅是数理逻辑中的一个概念，它成为了计算科学中最根本的限制。第四部分：后继者与遗留问题除了哥德尔和图灵，本书还将涉及与这一领域相关的其他重要人物和分支，例如：丘奇（Alonzo Church）的工作：阐述了 lambda 演算如何独立地达到了与图灵机相同的计算能力，进一步巩固了“有效可计算性”的直觉概念（丘奇-图灵论题）。判定问题（Entscheidungsproblem）的彻底终结：探讨了数学家们如何确认希尔伯特提出的判定性问题（是否存在一个算法可以判定任何一阶逻辑命题的真伪）在逻辑上是不可解的。递归论与可计算性理论的现代延伸：简要介绍这些理论如何影响了算法复杂度理论、人工智能的早期设想以及形式验证的尝试。本书旨在向读者展示，二十世纪初的逻辑危机不仅没有摧毁数学，反而以一种意想不到的方式，为信息时代奠定了不可动摇的理论基石。它揭示了形式化思维的强大力量，同时也清醒地指出了其固有的、无法逾越的界限。这是一部关于人类智力探索其自身极限的动人叙事。