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出版者:W H Freeman & Co

作者:Crisler, Nancy/ Froelich, Gary W.

出品人:

页数:550

译者:

出版时间:2005-12

价格:$ 149.16

装帧:HRD

isbn号码:9780716700005

丛书系列:

图书标签:

• 离散数学
• 数学基础
• 计算机科学
• 算法
• 逻辑
• 集合论
• 图论
• 组合数学
• 数学应用
• 高等教育

深入解析经典计算理论：从逻辑到结构 本书旨在为读者提供一个全面且深入的视角，探索离散数学这门学科的核心概念、结构及其在计算机科学、工程学以及现代数学中的应用。我们着重于建立坚实的理论基础，同时通过大量的实例和习题，展示如何将抽象的数学工具应用于解决实际问题。 本书的结构围绕几个关键的数学支柱展开，旨在循序渐进地引导读者掌握离散数学的精髓。 第一部分：基础逻辑与证明方法 本部分是整个离散数学大厦的基石。我们从命题逻辑和谓词逻辑（一阶逻辑）的严谨定义入手，详细阐述了如何对复杂的陈述进行符号化、分析其真值和有效性。这部分不仅涵盖了标准的真值表、逻辑等价性，还深入探讨了推理规则（如肯定前件、否定后件、假言三段论）在形式化论证中的应用。理解逻辑推理的精确性，是后续所有数学证明的基础。 紧接着，我们将引入数学证明的艺术。我们系统地介绍了主要的证明技术，包括直接证明、反证法（Reductio ad absurdum）、构造性证明、以及数学归纳法。数学归纳法，作为离散结构证明的强大工具，将被赋予特别的关注，通过斐波那契数列、二叉树的性质等经典案例，展示其强大的威力。我们将强调证明的结构性：清晰的假设、无懈可击的推理链条，以及最终结论的得出。 第二部分：集合论与关系 集合论作为现代数学的通用语言，在本书中占据重要地位。我们从集合的基本运算（并、交、差、补集、笛卡尔积）出发，探讨了有限集和无限集的区别。幂集的性质及其基数问题，是理解集合大小概念的关键。 更重要的是，我们深入研究了“关系”这一核心概念。关系被定义为集合上的笛卡尔积的子集，我们将重点剖析其关键属性：自反性、对称性、反对称性以及传递性。基于这些属性，我们详细讲解了等价关系及其划分（Equivalence Relations and Partitions），以及偏序关系（Partial Orderings）及其哈斯图（Hasse Diagrams）表示法。这些工具是理解数据组织和依赖结构的基础。 第三部分：函数、计数与组合分析 函数是数学中描述输入与输出之间映射的工具。本书详细区分了单射（One-to-one）、满射（Onto）和双射（Bijective）函数，并探讨了函数复合和逆函数的性质。 组合分析部分是本书的实践性核心之一。我们专注于如何系统地计算事件发生的可能性。从最基础的加法原理和乘法原理开始，我们详细推导并应用排列（Permutations）和组合（Combinations）的公式，包括带重复和不带重复的情况。随后，我们将引入更高级的主题，如鸽巢原理（Pigeonhole Principle）及其在证明中的应用，以及二项式定理（Binomial Theorem）和它的推广，如多项式系数的计算。这部分内容直接服务于概率论和算法分析的需求。 第四部分：图论基础 图论是研究离散结构之间连接性的强大分支，在网络科学、交通规划和计算机网络中有着不可替代的作用。本书引入了图的基本术语：顶点、边、度数、通路、回路。我们详细考察了特殊类型的图，如完全图、二分图、正则图。 连通性分析是本部分的重要组成部分，包括生成树（Spanning Trees）的概念及其在寻找最小成本连接中的应用（如普里姆算法和克鲁斯卡尔算法的理论基础）。我们还将深入探讨欧拉路径和哈密顿回路，这些都是路径优化问题的经典模型。此外，图的着色问题——图色数（Chromatic Number）的确定及其在资源分配中的应用，也将被系统介绍。 第五部分：代数结构初步 虽然本书侧重于离散结构的应用，但理解支撑这些结构的代数框架至关重要。本部分对抽象代数进行初步介绍，重点关注数论中的基本概念。 我们详述了整除性、素数、算术基本定理（Fundamental Theorem of Arithmetic）。在此基础上，我们深入探讨了模运算（Modular Arithmetic），包括同余关系、模加法和模乘法。线性同余方程的求解，以及欧几里得算法（及其扩展形式）在计算最大公约数和模逆元中的应用，将被详细阐述。这些概念是现代密码学（如RSA算法）的理论基石。 第六部分：递归关系与生成函数 本部分聚焦于处理离散序列和递归定义。递归关系是描述序列中后续项与前几项之间依赖性的强大工具，广泛应用于算法的复杂度分析。我们将介绍如何建立递归关系，并提供求解常系数线性齐次递归关系的方法，包括特征方程的应用。 生成函数（Generating Functions）被视为一种将无限序列转化为单个函数的强大技术。我们展示了如何利用生成函数来表示序列，并运用它们来求解复杂的计数问题和递归关系，提供了一种将代数方法应用于组合问题的桥梁。 全书贯穿着对计算思维的培养，要求读者不仅要掌握理论，更要能够将这些工具灵活地应用于算法设计、数据结构分析和形式化建模之中。每一章都配备了大量的练习题，从基础的检验题到需要深度思考的证明题和建模题，确保读者能够通过实践巩固所学知识。

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这本书在涉及数论和代数结构的部分，处理得相当谨慎且深入。通常数论章节容易陷入纯粹的计算泥潭，但这本书巧妙地引入了现代密码学（如RSA算法的基础）作为驱动力，让读者对“模运算”和“原根”这些概念的学习充满了内在的渴望。它没有把这些内容当作孤立的数学分支来讲解，而是将其定位为理解当代信息安全的基石。我特别喜欢作者在介绍欧拉定理和费马小定理时，不仅给出了严格的证明，还提供了多个不同难度的算术练习，确保了不同水平的读者都能跟上节奏。更值得称赞的是，它对“抽象代数”的初步介绍是如此的平滑和克制，恰到好处地引入了群、环的概念，为后续更高阶的数学学习铺设了坚实的桥梁，而不是突然扔出一个难以理解的代数结构定义，让读者望而却步。这种循序渐进的难度控制，是这本书最值得称赞的优点之一。

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我不得不说，这本书在讲解集合论和逻辑推理这一基础板块时，采取了一种非常注重“证明思维”培养的策略。它没有急于展示那些复杂的逻辑等价式，而是花了大量的篇幅去剖析一个好的数学论证应该具备哪些要素，以及如何系统性地构建一个严谨的证明。这种自上而下的教学方法，让我在学习归纳法和递归关系时，感到了前所未有的清晰感。很多同类教材往往将这些内容一笔带过，导致学生在面对证明题时依然感到无从下手，但这本书却耐心地展示了从观察特例到形成猜想，再到最终形式化证明的完整心路历程。我记得其中关于“鸽巢原理”的一个应用案例，它巧妙地与有限状态机的最小化问题联系起来，这种跨领域的知识融合，让人不得不佩服作者深厚的学术功底和高超的教学设计能力。读完这部分内容，我感觉自己不再是简单地背诵证明模板，而是真正掌握了数学家思考问题的方式，那种“茅塞顿开”的感觉，在其他教材中是极少体验到的。

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这本教材的排版实在是让人眼前一亮，不同于我过去接触过的那些充斥着密密麻麻符号和冗长理论的离散数学课本。它给人的感觉更像是一本精心设计的科普读物，虽然深度不减，但在视觉上减轻了读者的压力。章节的过渡非常自然，作者似乎非常懂得如何引导一个初学者进入离散数学这个看似高深莫测的领域。特别是那些图论和组合学的例子，它们不是孤立地陈述概念，而是紧密地结合了实际应用场景，比如网络路由优化或者数据结构设计中的逻辑推理。我特别欣赏它在每一章末尾设置的“深入思考”部分，这些问题往往需要你跳出课本的既有框架，去构思更复杂的证明或者算法变体，这极大地锻炼了我的抽象思维能力。这本书成功地将抽象的数学概念“具象化”了，让那些原本晦涩难懂的定理在现实世界的例子面前变得清晰可辨。尽管内容量不小，但阅读体验却是出奇地流畅，它不只是堆砌知识点，更像是在娓娓道来一个数学逻辑的构建过程。对于那些希望真正理解离散数学而非仅仅应付考试的人来说，这本书无疑是一个极佳的向导。

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我对这本书的习题设计和资源配套感到非常满意，这简直是一本“可操作性极强”的教科书。首先，习题的难度梯度设置得非常合理，从基础的机械性练习到需要创造性思维的开放式问题，几乎覆盖了所有可能遇到的知识应用场景。更重要的是，书中的许多概念介绍都配有相应的编程实现思路或伪代码（尽管它本身不是一本编程书），这对于我这种偏向应用计算机科学背景的学习者来说，是无价之宝。例如，在讲解关系和函数的等价关系时，它清晰地阐述了如何用编程算法来判定两个元素是否属于同一个等价类。这使得理论知识不再是悬浮在空中的公式，而是可以直接转化为计算机可以执行的指令。此外，书末的参考文献列表非常详尽，为那些希望进行更深入研究的读者指明了方向，显示了作者在内容组织上的全面性和对学术严谨性的坚持。

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这本书的叙事风格，用一个词来形容就是“充满活力”。它避免了传统教材那种冰冷、权威的口吻，反而像是一位经验丰富的导师在耐心、幽默地引导你探索数学的奇妙世界。在讨论图的连通性或欧拉路径这些经典拓扑问题时，作者经常会穿插一些历史轶事或者与当代谜题的关联，极大地增强了学习的趣味性和代入感。比如，在讲解树结构时，它不仅仅停留在树的定义上，而是深入探讨了最小生成树算法（如普里姆或克鲁斯卡尔）的效率对比，并用生动的语言解释了为什么贪心策略在这些特定场景下会奏效。这种教学方法的好处在于，它有效降低了读者的焦虑感，让复杂的数学概念变得“平易近人”。在我看来，一本好的教材不仅要传授知识，更要点燃学习的热情，而这本书在这方面做得非常出色，它成功地将离散数学从一门“必修的苦差事”转化成了一场引人入胜的逻辑探险。

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