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出版者:W H Freeman & Co

作者:Crisler, Nancy/ Froelich, Gary W.

出品人:

页数:550

译者:

出版时间:2005-12

价格:$ 149.16

装帧:HRD

isbn号码:9780716700005

丛书系列:

图书标签:

• 离散数学
• 数学基础
• 计算机科学
• 算法
• 逻辑
• 集合论
• 图论
• 组合数学
• 数学应用
• 高等教育

深入解析经典计算理论：从逻辑到结构 本书旨在为读者提供一个全面且深入的视角，探索离散数学这门学科的核心概念、结构及其在计算机科学、工程学以及现代数学中的应用。我们着重于建立坚实的理论基础，同时通过大量的实例和习题，展示如何将抽象的数学工具应用于解决实际问题。 本书的结构围绕几个关键的数学支柱展开，旨在循序渐进地引导读者掌握离散数学的精髓。 第一部分：基础逻辑与证明方法 本部分是整个离散数学大厦的基石。我们从命题逻辑和谓词逻辑（一阶逻辑）的严谨定义入手，详细阐述了如何对复杂的陈述进行符号化、分析其真值和有效性。这部分不仅涵盖了标准的真值表、逻辑等价性，还深入探讨了推理规则（如肯定前件、否定后件、假言三段论）在形式化论证中的应用。理解逻辑推理的精确性，是后续所有数学证明的基础。 紧接着，我们将引入数学证明的艺术。我们系统地介绍了主要的证明技术，包括直接证明、反证法（Reductio ad absurdum）、构造性证明、以及数学归纳法。数学归纳法，作为离散结构证明的强大工具，将被赋予特别的关注，通过斐波那契数列、二叉树的性质等经典案例，展示其强大的威力。我们将强调证明的结构性：清晰的假设、无懈可击的推理链条，以及最终结论的得出。 第二部分：集合论与关系 集合论作为现代数学的通用语言，在本书中占据重要地位。我们从集合的基本运算（并、交、差、补集、笛卡尔积）出发，探讨了有限集和无限集的区别。幂集的性质及其基数问题，是理解集合大小概念的关键。 更重要的是，我们深入研究了“关系”这一核心概念。关系被定义为集合上的笛卡尔积的子集，我们将重点剖析其关键属性：自反性、对称性、反对称性以及传递性。基于这些属性，我们详细讲解了等价关系及其划分（Equivalence Relations and Partitions），以及偏序关系（Partial Orderings）及其哈斯图（Hasse Diagrams）表示法。这些工具是理解数据组织和依赖结构的基础。 第三部分：函数、计数与组合分析 函数是数学中描述输入与输出之间映射的工具。本书详细区分了单射（One-to-one）、满射（Onto）和双射（Bijective）函数，并探讨了函数复合和逆函数的性质。 组合分析部分是本书的实践性核心之一。我们专注于如何系统地计算事件发生的可能性。从最基础的加法原理和乘法原理开始，我们详细推导并应用排列（Permutations）和组合（Combinations）的公式，包括带重复和不带重复的情况。随后，我们将引入更高级的主题，如鸽巢原理（Pigeonhole Principle）及其在证明中的应用，以及二项式定理（Binomial Theorem）和它的推广，如多项式系数的计算。这部分内容直接服务于概率论和算法分析的需求。 第四部分：图论基础 图论是研究离散结构之间连接性的强大分支，在网络科学、交通规划和计算机网络中有着不可替代的作用。本书引入了图的基本术语：顶点、边、度数、通路、回路。我们详细考察了特殊类型的图，如完全图、二分图、正则图。 连通性分析是本部分的重要组成部分，包括生成树（Spanning Trees）的概念及其在寻找最小成本连接中的应用（如普里姆算法和克鲁斯卡尔算法的理论基础）。我们还将深入探讨欧拉路径和哈密顿回路，这些都是路径优化问题的经典模型。此外，图的着色问题——图色数（Chromatic Number）的确定及其在资源分配中的应用，也将被系统介绍。 第五部分：代数结构初步 虽然本书侧重于离散结构的应用，但理解支撑这些结构的代数框架至关重要。本部分对抽象代数进行初步介绍，重点关注数论中的基本概念。 我们详述了整除性、素数、算术基本定理（Fundamental Theorem of Arithmetic）。在此基础上，我们深入探讨了模运算（Modular Arithmetic），包括同余关系、模加法和模乘法。线性同余方程的求解，以及欧几里得算法（及其扩展形式）在计算最大公约数和模逆元中的应用，将被详细阐述。这些概念是现代密码学（如RSA算法）的理论基石。 第六部分：递归关系与生成函数 本部分聚焦于处理离散序列和递归定义。递归关系是描述序列中后续项与前几项之间依赖性的强大工具，广泛应用于算法的复杂度分析。我们将介绍如何建立递归关系，并提供求解常系数线性齐次递归关系的方法，包括特征方程的应用。 生成函数（Generating Functions）被视为一种将无限序列转化为单个函数的强大技术。我们展示了如何利用生成函数来表示序列，并运用它们来求解复杂的计数问题和递归关系，提供了一种将代数方法应用于组合问题的桥梁。 全书贯穿着对计算思维的培养，要求读者不仅要掌握理论，更要能够将这些工具灵活地应用于算法设计、数据结构分析和形式化建模之中。每一章都配备了大量的练习题，从基础的检验题到需要深度思考的证明题和建模题，确保读者能够通过实践巩固所学知识。

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