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出版者:McGraw-Hill College

作者:Miller, Julie/ O'Neill, Molly/ Hyde, Nancy/ Levy, Mitchell (CON)

出品人:

页数:1005

译者:

出版时间:

价格:140.6

装帧:HRD

isbn号码:9780073298146

丛书系列:

图书标签:

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数学思维的深度探索：一部超越基础的数学著作 本书旨在为对纯粹数学和应用数学有浓厚兴趣的学习者和研究人员提供一个全面而深入的知识框架。它不仅仅是一本教科书，更是一次对数学本质、结构和美学的深刻探寻。全书摒弃了对特定商业化学习平台的依赖，专注于构建独立、严谨且富有启发性的数学理论体系。 第一部分：分析学的基石与拓扑的视野 (Foundations of Analysis and Topological Insight) 本部分专注于构建扎实的实分析基础，并在此基础上引入拓扑学的核心概念，为高等数学的学习奠定不可动摇的基石。 第一章：严谨的实数系统与极限的艺术 本章从集合论的视角出发，严谨地构造实数系统（$mathbb{R}$），通过戴德金截或柯西序列的完备性论证，确立微积分的逻辑起点。我们将深入探讨极限的$epsilon-delta$定义，并将其推广至更一般的度量空间。重点内容包括： 实数集的结构：上确界原理及其在证明中的关键作用。 序列收敛性与级数敛散性：比值判别法、根值判别法、积分判别法的严格推导与应用。 连续性的深入理解：一致连续性、反函数的连续性，以及连续函数在紧集上的性质（如Weierstrass最大值定理的拓扑证明）。 第二章：度量空间与拓扑基础 超越欧几里得空间，本章将分析空间的内在结构。度量空间的概念被引入，作为分析学研究的通用平台。 基本概念：开集、闭集、邻域、内点、外点、边界点的精确定义和相互关系。 拓扑空间：从度量诱导出拓扑，并讨论不依赖于度量的抽象拓扑空间。 紧致性与连通性：对这些关键拓扑性质进行细致的探讨，证明海涅-博雷尔定理（Heine-Borel Theorem）在$mathbb{R}^n$中的有效性，并探讨连通分支的性质。 函数空间的初步接触：介绍$C[a, b]$等函数空间，为后续泛函分析做铺垫。 第二部分：线形代数的精炼与几何的重构 (Refined Linear Algebra and Geometric Reconstruction) 本部分旨在突破传统行列式和基础向量运算的范畴，深入探讨有限维向量空间的抽象结构及其在变换中的表现。 第三章：向量空间与线性变换的抽象化 本章完全采用抽象向量空间的语言进行讨论，将几何直觉转化为代数逻辑。 基、维数与同构：证明所有$n$维向量空间都同构于$mathbb{F}^n$。 线性映射的结构：核（Kernel）、像（Image）、秩-零化度定理的深度剖析。 对角化与 Jordan 标准型：详尽讨论特征值、特征向量的计算，以及在不可对角化情况下Jordan块的构造原理和唯一性。 第四章：内积空间、正交性与谱理论 引入内积（或共轭内积）的概念，将代数结构与几何直观重新连接。 正交基与 Gram-Schmidt 过程：在一般内积空间中构建正交基的重要性。 自伴算子与谱定理：对于实对称矩阵和厄米特矩阵，详细证明其特征值均为实数，且存在正交对角化，这是量子力学等领域的基础。 奇异值分解 (SVD)：从正交分解的角度导出SVD，并阐述其在数据压缩和矩阵近似中的应用原理。 第三部分：微积分的推广与微分方程的动力学 (Generalizations of Calculus and Dynamics of ODEs) 本部分将传统的单变量微积分提升到多元函数、多重积分和微分方程的领域，侧重于理论的统一性和解的存在性与唯一性。 第五章：多元微积分与微分形式 本章关注空间中场量的分析，为理解物理定律的普遍形式做准备。 偏导数与方向导数：Hessian矩阵的几何意义。 多重积分与变量替换：Jacobian行列式在坐标系变换中的核心作用。 向量微积分的统一：格林定理、斯托克斯定理和高斯散度定理的严格证明，展示它们作为更一般化积分定理（如Stokes' Theorem on Manifolds）的特例。 第六章：常微分方程的理论分析 本章聚焦于描述动态系统的数学工具，强调解的存在性、唯一性及定性分析。 一阶方程的解法回顾：线性、恰当（Exact）、齐次方程的系统化处理。 Picard-Lindelöf 定理（存在唯一性定理）：对局部解的存在性和唯一性进行严格的数学证明，分析解的延续性。 线性系统与稳定性分析：利用特征值和相图（Phase Portrait）对自治线性系统进行定性分析，区分稳定节点、鞍点、稳定焦点等奇点类型。 第四章：抽象代数的结构之美 (The Aesthetic of Abstract Algebraic Structures) 本部分完全脱离连续性概念，转向离散数学的结构化研究，探索代数对象的基本构建块。 第七章：群论基础与对称性 群论是现代数学的通用语言之一，本章从操作和对称性的角度引入。 群、子群与陪集：拉格朗日定理及其在有限群中的应用。 正规子群与商群：建立同态定理，揭示结构间的内在联系。 置换群与 Cayley 定理：证明每一个有限群都同构于某个置换群。 Sylow 定理：作为群结构理论的核心工具，详细阐述三个Sylow定理的证明及其在识别特定阶群结构中的应用。 第八章：环与域的构造 本章扩展到更复杂的代数结构，为数论和代数几何奠定基础。 环的定义与理想：最大理想、素理想的性质，以及商环的构造。 整环、域与域扩张：从多项式环到域的构造过程。 唯一因子化整环 (UFD) 与主理想整环 (PID)：分析这些特殊环的性质，并举例说明它们之间的包含关系。 本书的特点在于其逻辑的连贯性和概念的深度。它假设读者已经具备扎实的代数和微积分预备知识，并致力于在每一章节中将看似分散的数学领域通过严谨的逻辑线索连接起来，引导读者建立起一个宏大而有机的数学知识体系。

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