Student Solutions Manual for Blanchard/Devaney/Hall's Differential Equations, 3rd pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:Brooks Cole

作者:Paul Blanchard

出品人:

页数:329

译者:

出版时间:2006-03-17

价格:USD 57.95

装帧:Paperback

isbn号码:9780495014614

丛书系列:

图书标签:

• 微分方程
• 解题指南
• 学生手册
• 布兰查德
• 德韦尼
• 霍尔
• 数学
• 高等教育
• 工程数学
• 微积分
• 解题技巧

导论：踏入微分方程的迷人世界 高等数学的殿堂中，微分方程无疑是至关重要且应用最为广泛的领域之一。它不仅仅是抽象的数学符号堆砌，更是描述自然界和工程实践中动态变化的有力语言。从描述行星运动的轨道，到预测种群数量的增长，再到分析电路中的电流波动，微分方程无处不在。 《常微分方程基础：理论、方法与应用解析》 旨在为学习者提供一个坚实而全面的基础，使其能够自信地驾驭常微分方程（Ordinary Differential Equations, ODEs）的核心概念、求解技术以及实际应用。本书的编撰充分考虑了不同学科背景读者的需求，力求在数学的严谨性与直观的物理意义之间找到完美的平衡点。 第一部分：基础构建——理解微分方程的本质 本部分将引导读者从最基础的概念入手，逐步深入理解微分方程的内在结构和分类体系。 第一章：微分方程的入门与初步分类 本章首先界定了微分方程的精确定义，区分了常微分方程与偏微分方程。我们将重点讨论方程的阶数（Order）和线性（Linearity）性质，这是后续所有分析和求解技术的基础。读者将学习如何建立简单的微分方程模型来描述实际问题，例如简单的放射性衰变或无阻尼自由振动。 第二章：一阶微分方程的求解艺术 一阶微分方程是整个理论的基石。本章将详细剖析几种主要的求解方法。首先是变量分离法，这是最直观、最基础的方法。随后，我们将深入研究一阶线性微分方程，并着重介绍积分因子法，该方法是理解更高阶线性方程理论的关键桥梁。紧接着，恰当方程（Exact Equations） 的概念及其求解技术将被系统介绍。此外，对于那些不易直接求解的非线性方程，本章还会介绍一阶可降阶方程的几种常见形式，如齐次方程和伯努利方程的转化技巧。通过大量的实例演示，读者将掌握何时应用何种方法，形成灵活的解题思路。 第三章：高阶线性微分方程 进入高阶方程的世界，线性系统展现出更为丰富的结构。本章聚焦于二阶及更高阶的线性常系数微分方程。我们首先探讨齐次方程的通解结构，引入特征方程（Characteristic Equation） 的概念，并详尽分析实根、重根和复根对应的解的形式。随后，我们将转向非齐次方程的求解。这里，待定系数法作为一种高效的猜测技巧将被深入讲解，适用于多项式、指数函数、正弦/余弦函数的组合项。对于更复杂或形式不规则的右端项，常数变易法（Variation of Parameters） 将作为普适性的、基于拉格朗日思想的求解框架被详细阐述。本章还将引入欧拉-柯西方程，展示如何处理变系数线性方程的特例。 第二部分：分析与工具——深入结构与应用 在掌握了基本的求解技巧后，本部分将引入更强大的分析工具，并探讨线性微分方程组的解法。 第四章：幂级数解法 并非所有微分方程都能通过初等函数求解。本章为处理那些系数为变量或在特定点无解的方程提供了强大的分析工具——幂级数解法。我们将从泰勒级数展开出发，系统地介绍如何利用幂级数来求解微分方程。重点内容包括：在普通点（Ordinary Points）使用标准幂级数展开；以及在正则奇点（Regular Singular Points） 运用弗罗贝尼乌斯法（Frobenius Method），该方法是处理特殊函数（如贝塞尔函数和勒让德多项式）的先导知识。 第五章：拉普拉斯变换——从微分到代数 拉普拉斯变换是工程和应用数学中处理非齐次问题（特别是带有初始条件的边值问题）的“核武器”。本章将系统地介绍拉普拉斯变换的定义、基本性质（线性、时移、频移等），以及常见函数的变换对。核心在于展示如何利用拉普拉斯变换将复杂的线性微分方程转化为简单的代数方程进行求解，极大地简化了带有狄拉克$delta$函数或阶跃函数（Heaviside Function） 等不连续输入的初始值问题的处理过程。最后，本章会展示如何通过部分分式分解将结果反变换回时域解。 第六章：线性微分方程组 在描述相互作用的系统（如两个耦合的振荡器或化学反应网络）时，我们通常需要求解微分方程组。本章专门针对线性常系数微分方程组。我们将引入矩阵方法作为核心工具。首先，读者将学习如何将二阶方程转化为一阶方程组。接着，重点将放在求解$mathbf{x}' = Amathbf{x}$ 形式的方程，包括利用特征值与特征向量的方法来构造解。对于常数矩阵 $A$，特征值是实数或复数时对应的解耦过程将被详细讲解。 第三部分：定性分析与实际建模 理论的价值最终体现在对系统行为的预测和理解上。本部分转向微分方程的定性分析和实际建模。 第七章：系统的稳定性和定性分析 对于不便求解或无解的非线性系统，定性分析变得至关重要。本章将专注于一维和二维自治系统的分析。我们将引入相平面分析（Phase Plane Analysis） 的概念，学习如何绘制相轨迹，识别平衡点（Equilibrium Points） 的类型（节点、鞍点、焦点、中心）。通过分析稳定性的概念（如渐近稳定、不稳定），读者可以不用求出精确解，就能了解系统长期行为的趋势。 第八章：应用：物理与工程中的模型 本章将整合前述所有理论，专注于建立和求解经典的物理模型。我们将探讨机械振动系统（如弹簧-质量系统，包括有阻尼和受迫振动，展示共振现象），RLC电路的瞬态响应（利用拉普拉斯变换处理），以及种群增长模型（如Logistic模型）的定性分析。通过这些实例，读者能够真正体会到微分方程作为描述动态系统的强大工具的价值。 本书的结构设计旨在层层递进，从基础概念到高级工具，再到实际应用。通过严谨的数学推导和丰富的工程背景实例，我们相信读者将不仅掌握求解 ODEs 的技术，更能培养出用数学语言分析和解决复杂动态问题的能力。

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