Geometrical Dynamics of Complex Systems pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:Springer Verlag

作者:Ivancevic, Vladimir G./ Ivancevic, Tijana T.

出品人:

页数:845

译者:

出版时间:2006-1

价格:$ 326.57

装帧:HRD

isbn号码:9781402045448

丛书系列:

图书标签:

• 几何动力学
• 复杂系统
• 非线性动力学
• 混沌理论
• 分形几何
• 拓扑学
• 自组织
• 模式形成
• 网络科学
• 动力系统

复杂系统中的非线性动力学与几何结构 本书深入探讨了现代科学前沿——复杂系统中的非线性动力学行为及其内在的几何结构。我们旨在超越传统线性模型的局限，揭示在多尺度、多耦合环境下，系统如何涌现出高度组织化和不可预测的集体行为。全书内容基于坚实的数学基础，结合丰富的物理、生物和工程学案例，勾勒出一幅描绘系统演化轨迹的几何蓝图。 第一部分：复杂系统的基础架构与相空间重构 本部分首先建立复杂系统分析的理论框架。我们从信息论和统计力学的角度审视系统的微观状态与宏观观测之间的关系。 第一章：复杂性的度量与涌现现象 我们首先界定“复杂性”的内涵，区别于简单的随机性或高维度。重点讨论了几个核心指标，包括有效自由度、信息熵（如Kolmogorov-Sinai熵）以及反馈回路的密度。复杂系统的一个关键特征是涌现（Emergence），即宏观行为不能简单地由微观组分的线性叠加预测。本章通过对元胞自动机和布雷斯悖论的分析，展示了局部规则如何催生全局模式。 第二章：动力学系统的拓扑基础 深入探讨了连续时间系统和离散时间系统的基本概念。相空间（Phase Space）是分析非线性动力学的核心舞台。我们详细阐述了流（Flow）的概念，以及不变集（Invariant Sets）——如不动点、周期轨道和拟周期轨道——在系统长期行为中的决定性作用。李雅普诺夫指数（Lyapunov Exponent）被引入作为量化系统对初始条件敏感性的核心工具，并区分了混沌系统与伪随机系统的拓扑差异。 第三章：非线性系统的重构与延迟动力学 在许多实际问题中，我们只能观测到系统输出的标量时间序列，而非全部状态变量。本章聚焦于基于观测时间序列的相空间重构技术，特别是采用延时嵌入（Time-Delay Embedding）方法，如Takens定理的应用。详细分析了选择合适的嵌入维度（$m$）和时间延迟（$ au$）的优化策略。重构后的吸引子（Attractor）的几何特性，如关联维度（Correlation Dimension）和分岔维数，成为评估系统内在复杂性的关键几何量度。 第二部分：几何吸引子与混沌的分类 本部分将焦点集中于非线性动力学系统的几何核心——吸引子，并深入剖析了不同类型的混沌行为。 第四章：吸引子的几何特征与分维 吸引子是系统在相空间中长期演化的轨迹集合，其拓扑结构决定了系统的长期稳定性或不稳定性。我们详细研究了吸引子的分形几何性质。洛伦兹吸引子（Lorenz Attractor）作为经典例子，其非整数维度的概念被引入。本章讲解了盒计数法（Box-Counting Method）和关联积分法（Grassberger-Procaccia Algorithm）在估算吸引子分维（Fractal Dimension）中的应用和局限性。特别关注了奇点（Singularities）和薄片结构（Filamentary Structures）在奇异吸引子中的物理意义。 第五章：分岔理论与系统的定性变化 分岔（Bifurcation）描述了系统参数变化时，动力学行为发生的拓扑转变。本章系统回顾了经典的分岔类型：鞍结点分岔、超临界和次临界Hopf分岔，以及倍周期级联（Period-Doubling Cascade）通往混沌的道路（费根鲍姆常数）。通过对这些几何转变点的分析，我们可以预测系统何时会从稳定或周期性状态跃迁至完全的混沌状态。对于高维系统，我们探讨了协同模态分析（Mode Coupling Analysis）在识别关键分岔参数时的作用。 第六章：混沌的拓扑与动力学分类 混沌并非单一现象，而是多种拓扑结构的表征。本章区别了不同形式的混沌：均匀混沌（如在常曲率流形上的运动）与奇异混沌（如洛伦兹系统）。我们探讨了拓扑熵（Topological Entropy）作为衡量相空间中轨迹密度增长率的严格量度。此外，还涉及了涉及边界无限延伸的非一致性混沌（Non-Uniformly Hyperbolic Chaos）的现代研究进展。 第三部分：耦合系统与网络动力学 真实世界的复杂系统通常由相互作用的子系统构成。本部分转向研究系统间的相互作用如何塑造整体的动力学景观。 第七章：耦合振荡器与同步现象 从描述耦合动力学的普遍方程（如Kuramoto模型和罗森苏模型）出发，本章专注于系统同步（Synchronization）的几何实现。我们分析了相位锁定（Phase Locking）的条件，并将其视为一种特定类型的吸引子捕获。重点研究了反相同步、群同步以及完全同步的稳定性和脆弱性。对于非对称耦合，我们引入了结构张量（Structure Tensors）来描述信息流动的几何路径。 第八章：网络拓扑与动力学传播 本章将动力学系统放置于复杂的拓扑网络（如无标度网络、小世界网络）之上。我们分析了网络拓扑结构如何影响诸如疾病传播、信息扩散或故障传播的速度和范围。节点动力学的异质性与网络拓扑的非局部连接性相结合，导致了新的集体行为——例如，在稀疏网络中维持的集体振荡。我们将图论的谱分析（Spectral Analysis）与李雅普诺夫谱相结合，来预测网络动力学的全局稳定性。 第九章：多尺度耦合与尺度不变性 许多复杂系统，如气候、生态系统或大脑活动，存在显著的多尺度相互作用。本章探讨了如何通过尺度分离（Separation of Scales）的方法来构建简化的有效动力学模型。引入了平均场理论（Mean-Field Theory）和多重时间尺度分析（Multiple Time Scale Analysis）来处理快慢变量的相互作用。最后，讨论了在不同时间尺度上可能出现的尺度不变性（Scale Invariance）现象，这通常暗示着系统正处于临界状态。 第四部分：几何方法的应用与前沿探索 最后一部分将理论框架应用于具体领域，并展望了未来研究的方向。 第十章：从数据到几何：逆问题与控制 本章讨论了如何从不完整的实验数据中反演系统的底层动力学方程。我们介绍了基于核方法的系统辨识技术，以及如何使用能量函数或拉格朗日形式来约束模型的几何合理性。此外，针对不稳定系统，我们探讨了通过微小外部扰动实现目标行为的几何控制策略，特别是基于庞加莱截面（Poincaré Section）的周期轨道控制方法。 第十一章：复杂系统的几何范式前沿 本章概览了当前领域的前沿方向。包括：高维系统的流形学习（Manifold Learning）在降维和特征提取中的应用；拓扑数据分析（Topological Data Analysis, TDA）如何利用拓扑不变量（如贝蒂数）来描述高维数据云的“洞”与“环”；以及从物理学角度看，复杂系统动力学的变分原理和最优传输理论在建模扩散和演化过程中的新兴作用。 全书旨在为研究生、研究人员和工程师提供一个全面而深入的工具箱，用以理解和预测那些由非线性互动主导的、具有内在几何结构的美丽而又难以捉摸的复杂系统。

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