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出版者:John Wiley & Sons Inc

作者:Faticoni, Theodore G.

出品人:

页数:304

译者:

出版时间:2006-6

价格:£ 69.95

装帧:HRD

isbn号码:9780471794325

丛书系列:

图书标签:

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• English
• 数学
• 无穷
• 集合论
• 极限
• 微积分
• 数论
• 拓扑学
• 实分析
• 数学哲学
• 公理系统

浩瀚星辰中的数学之舞：《无尽的奥秘：探索数学疆域的边界》 内容提要： 本书是一部宏大的数学探索之旅，它不聚焦于单一的概念，而是以全景式的视角，引领读者穿越数学思想发展的历史长河，深入探究那些塑造了现代科学与哲学的核心领域。我们将一同审视集合论的奠基石如何被谨慎地搭建起来，微积分的革命性力量如何改变了我们理解变化的方式，以及抽象代数如何在最简洁的结构中揭示宇宙的普遍规律。本书旨在揭示数学作为一种动态、富有创造力的学科的本质，强调其概念之间的内在联系和跨学科的深远影响。 --- 第一部分：逻辑的基石与结构的起源 (Foundations and Frameworks) 第一章：从几何到公理——欧几里得的遗产与非欧几何的颠覆 本章始于人类理性思维的最初形式——几何学。我们首先回顾欧几里得《几何原本》的辉煌成就，分析其演绎推理的严谨体系如何成为西方科学的典范。随后，我们将深入探讨平行公设的争议及其最终的瓦解。高斯、波耶洛夫斯基和黎曼对非欧几何（如双曲几何和椭圆几何）的开创性工作，不仅拓宽了我们对空间的直观认知，更重要的是，它证明了数学的真理性不完全依赖于经验世界的“真实性”，而是植根于其自身的公理系统。这一转变标志着数学开始迈向高度抽象的领域。 第二章：符号的炼金术——数理逻辑的诞生与哥德尔的震撼 在十九世纪末，数学家们试图为整个数学王国建立一个无可动摇的逻辑基础。本章将详细介绍弗雷格、罗素和怀特海在逻辑学上的努力，特别是《数学原理》试图将数学还原为逻辑的尝试。随后，我们将焦点转向大卫·希尔伯特的纲领，以及最终由库尔特·哥德尔以其不可思议的“不完备性定理”对这一纲领的致命一击。哥德尔的发现深刻地揭示了任何足够强大的形式系统内部必然存在无法被证明或证伪的命题，这不仅是数学史上的一个里程碑，更是对人类知识边界的哲学拷问。我们将探讨这些定理对数学的自我认识和对计算理论的间接影响。 第三章：朴素到严谨——分析学的概念革命 在本部分，我们将考察微积分从牛顿和莱布尼茨的直观发明，到十九世纪“算术化”的严谨重建过程。柯西、魏尔斯特拉斯等人的工作如何通过引入$epsilon-delta$语言，彻底清洗了“无穷小”概念带来的模糊性。我们分析了序列的收敛性、函数的连续性以及导数和积分的严格定义，这些正是现代科学计算和工程学得以精确运作的基础。本章强调了严谨性在数学发展中的必要性，以及这种严谨如何使得更深层次的结构得以被安全地构建。 --- 第二部分：结构与模式的抽象 (Abstraction and Pattern Recognition) 第四章：群论的优雅——对称性的代数语言 本章将进入抽象代数的核心领域——群论。我们从对称性（无论是旋转、反射还是变换）的几何直觉出发，介绍伽罗瓦如何利用群论解决了五次及以上代数方程的求根问题。我们将详细阐述群、子群、同态和同构等基本概念，并展示群论在晶体学、物理学（如粒子物理学中的规范场论）中的不可或缺性。本章强调群论如何提供了一种超越具体对象的、关于“关系”和“结构”的通用语言。 第五章：环与域的交织——代数结构的拓展 在群论的基础上，本章进一步探讨环和域的概念。我们将比较整数环、多项式环与更抽象的代数结构。域的引入，特别是有限域（伽罗瓦域）的概念，对于现代密码学和编码理论至关重要。读者将了解到，看似纯粹的代数研究如何直接服务于信息安全和数据传输的实际需求，体现了数学理论的强大应用潜力。 第六章：向量空间的几何延伸——线性代数的威力 线性代数是连接几何直觉与代数运算的桥梁。本章将超越简单的方程组求解，深入探讨向量空间、线性变换、特征值和特征向量的本质。我们将探讨如何通过对角化矩阵来简化复杂的动力学系统，以及这些工具如何在傅里叶分析、偏微分方程的解法中扮演核心角色。本章将凸显线性代数作为处理高维数据的通用框架的重要性。 --- 第三部分：连续性、测度和概率的融合 (Continuity, Measure, and Chance) 第七章：黎曼到勒贝格——测度论的精细化 在本章中，我们将审视积分理论的进化。黎曼积分在处理不规则函数时遇到了困难。勒贝格测度论的出现，通过对“长度”、“面积”和“体积”概念的革命性重构，极大地扩展了可积函数的集合。我们将探讨测度空间的定义，以及它如何为概率论的严格化奠定基础。理解勒贝格积分，是深入现代泛函分析和随机过程理论的先决条件。 第八章：从直觉到公理——概率论的严密化 概率论的早期发展充满了哲学争论。本章详细阐述了科尔莫戈洛夫如何通过测度论的工具，将概率论建立在坚实的公理基础之上。我们将探讨概率空间的概念，随机变量的定义，以及独立性与期望值的精确处理。这种公理化使得统计推断和随机过程分析拥有了无可争议的逻辑基础。 第九章：动态的景观——常微分方程与混沌的边缘 本章探讨数学如何描述时间依赖性的系统。从牛顿的运动定律到更复杂的微分方程组，我们将展示数学模型如何逼近物理现实。特别地，本章将引入对非线性系统和“混沌理论”的初步探讨。我们将看到，即使在完全确定的数学系统中，初始条件的极端敏感性也能产生看似随机的、不可预测的行为，这为理解复杂系统的内在限制提供了深刻的见解。 --- 第四部分：边界的拓展与展望 (Frontiers and Future Directions) 第十章：拓扑学的柔性视角——不变量的搜寻 拓扑学，被称为“橡皮泥几何学”，关注的是在连续形变下保持不变的性质。本章将介绍拓扑空间的定义，连通性、紧致性等拓扑不变量。从莫比乌斯带的奇特性质到更高维流形的分类问题，拓扑学提供了一种全新的、与度量无关的视角来看待空间结构，并已成为现代物理学（如弦理论）的重要工具。 第十一章：数论的隐秘花园——素数与函数域 数论，作为“数学之后”，在看似最简单的整数运算中隐藏着最深刻的奥秘。本章将聚焦于素数分布的规律与随机性之间的微妙平衡，介绍素数定理的意义。我们将简要探讨丢番图方程和代数数论中的一些核心问题，展示纯粹的整数研究如何跨越代数、分析和几何的界限。 结论：数学作为人类思维的终极构造 本书的总结部分将回归到数学的本质——它是一种创造活动。我们回顾了从几何到抽象结构、从确定性到随机性的演变历程。数学并非一套僵硬的规则，而是一个持续扩张的认知疆域，其力量在于其无与伦比的抽象能力和对任何可思议结构的精确描述潜力。它既是描述我们世界的语言，也是拓展我们想象力的工具，指引着未来科学探索的下一个未知领域。 --- 本书适合人群： 具有一定微积分基础，渴望超越教科书表面知识，深入理解现代数学概念体系和其内在逻辑联系的科学爱好者、工程师和学生。本书不依赖于任何单一的、狭窄的理论框架，而是提供一个广阔的、相互关联的数学地图。

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