Complex analysis and dynamical systems ii pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

简体网页||繁体网页

☆☆☆☆☆

出版者:Amer Mathematical Society

作者:Agranovsky, Mark (EDT)/ Karp, Lavi (EDT)/ Shoiykhet, David (EDT)

出品人:

页数:432

译者:

出版时间:

价格:1790.00元

装帧:Pap

isbn号码:9780821837092

丛书系列:contemporary mathematics

图书标签:

• Complex Analysis
• Dynamical Systems
• Holomorphic Dynamics
• Iteration Theory
• Fractals
• Complex Functions
• Conformal Mapping
• Bifurcation Theory
• Chaos Theory
• Mathematical Analysis

深入探索拓扑学与几何结构：一本关于现代几何与拓扑前沿的权威著作 书名：拓扑形变与微分几何：黎曼流形、纤维丛与规范理论 作者：[此处假设一位著名数学家的名字，例如：阿历山大·维特根斯坦 或 埃德温·哈勃] 出版信息：[假设一家享有盛誉的学术出版社，例如：普林斯顿大学出版社 或 剑桥大学出版社] --- 内容提要： 本书旨在为高等数学专业的研究生、博士后研究人员以及致力于几何分析和拓扑学领域的前沿学者提供一份全面而深入的指南。它并非对传统分析学分支的简单回顾，而是聚焦于现代数学物理交汇点——特别是关于拓扑结构如何内在决定几何性质，以及微分几何如何为理解空间形变提供工具的深刻探讨。全书以严谨的数学语言，构建了一个连接经典微分几何、现代拓扑学、以及李群理论的知识桥梁，深入剖析了黎曼流形、纤维丛理论及其在规范场论中的应用。 全书共分为六大部分，超过一千页的篇幅，内容涵盖了从基础构造到最尖端研究成果的广泛领域。 --- 第一部分：黎曼几何的基石与结构（The Foundations of Riemannian Geometry） 本部分首先回顾了光滑流形理论的必要背景，并迅速过渡到黎曼几何的核心概念。我们详细讨论了度量张量的定义、联络的唯一性（Levi-Civita 联络），以及测地线方程的推导。重点内容包括： 1. 曲率的分解与理解：对里奇曲率、截面曲率和Weyl张量的深入分析，阐明了它们如何刻画流形在局部和全局上的几何特征。我们引入了曲率张量的协变微分，特别是比安基恒等式 (Bianchi Identities)，并展示了它们在定义爱因斯坦流形中的关键作用。 2. 测地线聚焦与庞加莱引理：对拓扑学上的“最短路径”概念进行了严格的分析，并探讨了测地线如何因曲率的分布而发生聚焦现象，这对于理解空间形变的稳定性至关重要。 3. 黎曼切丛与张量场的演化：细致地研究了切丛上的各种张量结构，如高阶微分形式的拉普拉斯算子 ($Delta_H$) 的定义，以及霍奇理论在黎曼流形上的初步应用，为后续讨论铺平道路。 --- 第二部分：纤维丛与主丛理论（Fiber Bundles and Principal Bundles） 现代几何分析的核心在于理解“如何从一个点提升信息到整个空间”。本部分专注于纤维丛的代数拓扑结构。 1. 纤维丛的分类与构造：严格定义了向量丛、纤维丛以及主丛（Principal Bundles）。详细讨论了结构群 (Structure Group) 的概念，并利用庞加莱截面定理和分类空间（Classifying Spaces $BG$）来对丛进行拓扑分类。 2. 截面与联络的提升：重点分析了在主丛上定义联络 (Connection) 的必要性，特别关注水平子空间的概念。我们使用吴氏示性类 (Wu Classes) 来研究丛的拓扑不变量，并推导出陈示性类 (Chern Classes) 的定义，这是连接拓扑与曲率的关键桥梁。 3. 庞加莱-黎曼-赫兹定理的深入探究：探讨了在具有特殊对称性的流形上，如何通过向量丛的结构群来简化联络的存在性证明。 --- 第三部分：规范理论与杨-米尔斯理论（Gauge Theory and Yang-Mills Equations） 本部分将前两部分的几何工具应用于理论物理中的核心问题——规范场论。 1. 规范变换的几何视角：将规范变换解释为沿纤维丛的局部自同构。详细阐述了规范联络的定义，并讨论了其在纤维丛上的无穷小生成元。 2. 杨-米尔斯作用量：构建了杨-米尔斯泛函 $mathcal{Y}(A)$，并推导出其欧几里得场方程。这部分内容侧重于变分原理在规范理论中的应用，精确地计算了规范场方程（类似于爱因斯坦场方程的推广）。 3. 瞬子与构形空间：对 $SU(2)$ 和 $SU(3)$ 规范群下的瞬子 (Instantons) 进行了详细的几何构造和拓扑解释，特别是利用亚当斯同态 (Adams Homomorphism) 来理解瞬子的非平凡拓扑荷。 --- 第四部分：拓扑不变量与同调理论的交融（Topological Invariants and Cohomology） 本部分侧重于如何利用代数拓扑工具来识别和区分不同几何形状。 1. De Rham上同调与陈-西蒙斯形式：系统回顾了De Rham上同调的构造，并展示了Dolbeault上同调在Kähler流形上的特殊地位。关键在于引入陈-西蒙斯三形式，证明其积分（陈-西蒙斯数）是规范场构形空间上的一个拓扑不变量。 2. 林赫夫特定理与黎曼-赫兹指标：介绍了林赫夫特定理 (Hirzebruch-Riemann-Roch Theorem)，它将代数几何中的多项式计数问题，转化为几何对象（流形）上的某些拓扑量（示性数）的计算。我们着重分析了指标 (Index) 的定义及其物理意义。 3. 可积系统与流形上的模空间：探讨了具有对称性的流形上的可积系统如何限制了测地线的行为，并初步引入了模空间 (Moduli Spaces) 的概念，它们是研究特定几何对象（如稳定向量丛）的“空间中的空间”。 --- 第五部分：几何分析：椭圆方程与形变理论（Geometric Analysis: Elliptic Equations and Deformation Theory） 本部分关注几何结构在分析算子作用下的稳定性与形变。 1. 谱理论与黎曼流形的几何：详细讨论了拉普拉斯-贝特拉密算子的特征值谱，以及谱几何的基本思想——流形的几何信息如何编码在其谱中。我们分析了Weyl的定理及其在等距性问题中的应用。 2. Kähler几何与Calabi-Yau流形：在复流形上，对Kähler度量进行了专门分析，引入Ricci-平坦方程（即 Yau的紧致化猜想），并提供了其现代分析解法的关键步骤，侧重于Perturbation Methods（摄动方法）。 3. 刚性定理与形变空间：引入椭圆型方程的理论基础，以分析几何对象的局部形变空间。重点是莫里定理 (Mori's Theorem) 和 Kodaira-Spencer 理论在复结构形变中的应用，展示了如何量化一个几何结构的“柔韧性”。 --- 第六部分：前沿课题：规范群的无穷小形变与量子拓扑场论（Frontier Topics: Infinitesimal Deformations of Gauge Groups and Topological QFT） 作为总结和展望，本部分触及了当前研究的热点。 1. 规范群的无穷小形变：分析了规范群 $G$ 本身的李代数 $mathfrak{g}$ 上的几何结构，特别是李代数上的二次型与陈-西蒙斯作用量的联系。 2. 几何中的量子化问题：从经典的杨-米尔斯理论出发，讨论了向Witten的拓扑量子场论 (TQFT) 过渡的数学动机，特别是如何通过路径积分的几何解释来定义拓扑不变量。 3. 非交换几何的几何视角：简要介绍了Connes的非交换几何框架，并探讨了如何在黎曼几何的框架内，利用谱数据来重构基本的几何对象，为理解超越经典流形结构的系统提供了新的视角。 --- 目标读者对象： 本书要求读者具备扎实的微分几何基础、一定的代数拓扑知识，并对理论物理中的几何方法有强烈的兴趣。它适合作为高阶研讨班的指定教材，或为几何分析和数学物理领域的研究人员提供一本可供长期参考的工具书。本书的特点在于其内容的广度和深度的完美平衡，成功地将抽象的拓扑概念转化为具体的、可计算的几何量。

评分☆☆☆☆☆

评分☆☆☆☆☆

评分☆☆☆☆☆

评分☆☆☆☆☆

评分☆☆☆☆☆

评分☆☆☆☆☆

评分☆☆☆☆☆

评分☆☆☆☆☆

评分☆☆☆☆☆

评分☆☆☆☆☆